大师作文网一道关于椭圆的题,已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√2/2,左右焦点分别为F1,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/24 15:22:44
一道关于椭圆的题,
已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√2/2,左右焦点分别为F1,F2,点P（2,√3）,点F2在线段PF1的中垂线上.（1）求椭圆E的方程.（2）设l1,l2是过点G（3/2,0）且互相垂直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,求l1的斜率k的取值范围.（3）在（2）的条件下,设AB,CD的中点分别为M,N,求证：直线OM与直线ON的斜率之积为定值（O为坐标原点）.
已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√2/2,左右焦点分别为F1,F2,点P（2,√3）,点F2在线段PF1的中垂线上.（1）求椭圆E的方程.（2）设l1,l2是过点G（3/2,0）且互相垂直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,求l1的斜率k的取值范围.（3）在（2）的条件下,设AB,CD的中点分别为M,N,求证：直线OM与直线ON的斜率之积为定值（O为坐标原点）.
(1)设F1(-c,0),F2(c,0)
由于F2在线段PF1的中垂线上
则:|PF2|=|F1F2|
即：√[(2-c)^2+(√3-0)^2]=2c
(c-2)^2+3=(2c)^2
解得：c=1
由于：e=c/a=√2/2
则：a=√2
则：a^2=2,b^2=a^2-c^2=1
则椭圆E的方程：x^2/2+y^2=1
(2)由于：l1,l2互相垂直
则：k*kl2=-1
则：kl2=-1/k
[1]当l1,l2中有一条直线垂直X轴时,
由于G(3/2,0)在椭圆外
故不能使l1,l2均与椭圆有两交点
[2]l1,l2均不与x轴垂直时
设l1:y=k(x-3/2),l2:y=(-1/k)(x-3/2)
分别与E：x^2+2y^2=2联立得：
(1+2k^2)x^2-6k^2x+(9k^2/2)-2=0
(1+2/k^2)x^2-6x^2/k^2+9/(2k^2)-2=0
则判别式△1=(-6k^2)^2-4(1+2k^2)(9k^2/2 -2)>0
△2=(-6/k^2)^2-4(1+2/k^2)(9/2k^2 -2)>0
解得：k属于(-2,-1/2)U(1/2,2)
(3)直线OM与直线ON的斜率之积为定值-1/4
证明：
设M(xM,yM),N(xN,yN)
A(x1,y1)B(x2,y2)
由于A,B在E:x^2+2y^2=2上
则：x1^2+2y1^2=2,x2^2+2y2^2=2
两式相减得：
(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y2)
则：kAB=kl1
=(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/[(-2)(y1+y2)]
由于：M为AB中点
则：2xM=x1+x2,2yM=y1+y2
则：kl1=(2xM)/[(-2)(2yM)]=-xM/(2yM)
同理可得：kl2=-xN/(2yN)
由于：kl1*kl2=-1
则：[-xM/(2yM)]*[-xN/(2yN)]=-1
化简得：xMxN=-4yMyN
所求kOM*kON
=(yM/xM)*(yN/xN)
=(yMyN)/(xMxN)
=(yMyN)/(-4yMyN)
=-1/4
由于F2在线段PF1的中垂线上
则:|PF2|=|F1F2|
即：√[(2-c)^2+(√3-0)^2]=2c
(c-2)^2+3=(2c)^2
解得：c=1
由于：e=c/a=√2/2
则：a=√2
则：a^2=2,b^2=a^2-c^2=1
则椭圆E的方程：x^2/2+y^2=1
(2)由于：l1,l2互相垂直
则：k*kl2=-1
则：kl2=-1/k
[1]当l1,l2中有一条直线垂直X轴时,
由于G(3/2,0)在椭圆外
故不能使l1,l2均与椭圆有两交点
[2]l1,l2均不与x轴垂直时
设l1:y=k(x-3/2),l2:y=(-1/k)(x-3/2)
分别与E：x^2+2y^2=2联立得：
(1+2k^2)x^2-6k^2x+(9k^2/2)-2=0
(1+2/k^2)x^2-6x^2/k^2+9/(2k^2)-2=0
则判别式△1=(-6k^2)^2-4(1+2k^2)(9k^2/2 -2)>0
△2=(-6/k^2)^2-4(1+2/k^2)(9/2k^2 -2)>0
解得：k属于(-2,-1/2)U(1/2,2)
(3)直线OM与直线ON的斜率之积为定值-1/4
证明：
设M(xM,yM),N(xN,yN)
A(x1,y1)B(x2,y2)
由于A,B在E:x^2+2y^2=2上
则：x1^2+2y1^2=2,x2^2+2y2^2=2
两式相减得：
(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y2)
则：kAB=kl1
=(y1-y2)/(x1-x2)=(x1+x2)/[(-2)(y1+y2)]
由于：M为AB中点
则：2xM=x1+x2,2yM=y1+y2
则：kl1=(2xM)/[(-2)(2yM)]=-xM/(2yM)
同理可得：kl2=-xN/(2yN)
由于：kl1*kl2=-1
则：[-xM/(2yM)]*[-xN/(2yN)]=-1
化简得：xMxN=-4yMyN
所求kOM*kON
=(yM/xM)*(yN/xN)
=(yMyN)/(xMxN)
=(yMyN)/(-4yMyN)
=-1/4
一道关于椭圆的题,已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√2/2,左右焦点分别为F1,
一道高中椭圆题已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,若椭圆上存在点P,使得P
已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1的离心率e=2分之根号2左右焦点分别为F1
已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0）的离心率为1/2,F1,F2分别为椭圆C的左右焦点,若椭圆C
6题已知椭圆C：方程略（a>b>0）的左右焦点为F1,F2,离心率e=跟号2/2,且椭圆C过抛物线X平方=-4y的焦点1
已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的离心率e=√2/2,左、右焦点分别为F1、F2
设椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的左右两个焦点分别为F1 F2,已知椭圆E上的任意一点P,满足
一道椭圆的几何题.设F1,F2分别是椭圆E:X^2 Y^2/b^2=1的左右焦点,过F1斜率为1的直线L与E相交于A,B
已知椭圆C:X平方/a2平方+Y平方/b平方=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心e=1/2,直线Y=X+2
已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝12，直线y=x+2经
已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c)的离心率为1/2,F1、F2分别为椭圆C的左右两焦点,若椭圆
已知椭圆E x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F1,F2,已知椭圆E上任意一点P,满足向