梅内劳斯定理详细证明一直线分别截三角形ABC三边(或延长线)BC,CA,AB于P,Q,R,则AR/RB,BP/PC,CQ
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 13:34:26
梅内劳斯定理详细证明
一直线分别截三角形ABC三边(或延长线)BC,CA,AB于P,Q,R,则AR/RB,BP/PC,CQ/QA的积为一 能不能尽量用相似或平行线分线段成比例定理来证明,
一直线分别截三角形ABC三边(或延长线)BC,CA,AB于P,Q,R,则AR/RB,BP/PC,CQ/QA的积为一 能不能尽量用相似或平行线分线段成比例定理来证明,
梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出:如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
证明:
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD ,BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG.
三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有公路相连.我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落.我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去.
我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须“游历”了所有的景点.只“路过”而不停留观赏的景点,不能算是“游历”.
例如直升机降落在A点,我们从A点出发,“游历”了其它五个字母所代表的景点后,最终还要回到出发点A.
另外还有一个要求,就是同一直线上的三个景点,必须连续游过之后,才能变更到其它直线上的景点.
从A点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明:
方案 ① ——从A经过B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之后经过B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后从E经过C(不停留)回到出发点A.
按照这个方案,可以写出关系式:
(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1.
现在,您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧.
从A点出发的旅游方案还有:
方案 ② ——可以简记为:A→B→F→D→E→C→A,由此可写出以下公式:
(AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1.从A出发还可以向“C”方向走,于是有:
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可写出公式:
(AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1.从A出发还有最后一个方案:
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此写出公式:
(AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1.
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落,因此就有了图中的另外一些公式.
值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是“梅涅劳斯定理”中的三项.当直升机降落在B点时,就会有四项因式.而在C点和F点,既会有三项的公式,也会有四项的公式.公式为四项时,有的景点会游览了两次.
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个典型的公式给我们看看.
现在是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢.那些复杂的相除相乘的关系式,不会再写错或是记不住吧.
证明:
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD ,BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG.
三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
为了说明问题,并给大家一个深刻印象,我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点,各景点之间有公路相连.我们乘直升机飞到这些景点的上空,然后选择其中的任意一个景点降落.我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩,最后回到出发点,直升机就停在那里等待我们回去.
我们不必考虑怎样走路程最短,只要求必须“游历”了所有的景点.只“路过”而不停留观赏的景点,不能算是“游历”.
例如直升机降落在A点,我们从A点出发,“游历”了其它五个字母所代表的景点后,最终还要回到出发点A.
另外还有一个要求,就是同一直线上的三个景点,必须连续游过之后,才能变更到其它直线上的景点.
从A点出发的旅游方案共有四种,下面逐一说明:
方案 ① ——从A经过B(不停留)到F(停留),再返回B(停留),再到D(停留),之后经过B(不停留)到C(停留),再到E(停留),最后从E经过C(不停留)回到出发点A.
按照这个方案,可以写出关系式:
(AF:FB)*(BD:DC)*(CE:EA)=1.
现在,您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧.
从A点出发的旅游方案还有:
方案 ② ——可以简记为:A→B→F→D→E→C→A,由此可写出以下公式:
(AB:BF)*(FD:DE)*(EC:CA)=1.从A出发还可以向“C”方向走,于是有:
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A,由此可写出公式:
(AC:CE)*(ED:DF)*(FB:BA)=1.从A出发还有最后一个方案:
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A,由此写出公式:
(AE:EC)*(CD:DB)*(BF:FA)=1.
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落,因此就有了图中的另外一些公式.
值得注意的是,有些公式中包含了四项因式,而不是“梅涅劳斯定理”中的三项.当直升机降落在B点时,就会有四项因式.而在C点和F点,既会有三项的公式,也会有四项的公式.公式为四项时,有的景点会游览了两次.
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的,只是列出了一两个典型的公式给我们看看.
现在是否可以说,我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢.那些复杂的相除相乘的关系式,不会再写错或是记不住吧.
梅内劳斯定理详细证明一直线分别截三角形ABC三边(或延长线)BC,CA,AB于P,Q,R,则AR/RB,BP/PC,CQ
正三角形ABC的边长为1,点P Q R分别在BC AC AB上,BP:CQ:AR=1:2:3,求△PQR面积S于x(BP
在三角形ABC所在平面上有三点P、Q、R,满足向量PA+PB+PC=AB,QA+QB+QC=BC,RA+RB+RC=CA
在等边三角形ABC中,P,Q分别是BC,AC上的动点,且BP=CQ设直线PQ与直线AB交于点R,若AB=4,∠ARQ=3
已知:如图,△ABC中,在BC上取一点P,CA上取一点Q,使得BP:PC=2:5,CQ:QA=3:4,AP、BQ交于点R
如图:(1)P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线于点R.请观察AR
P是等腰三角形ABC的底边BC上的一点,过点P作BC的垂线,交AB于点Q,交CA的延长线与R,则说明AR与AQ相等
AM是三角形ABC中AB边上的中线,P为BC上任意一点,过点P作AM的平行线,分别交AB,AC(或其延长线)于点Q,R,
几何证明选讲在三角形ABC中,AB=AC.过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D、(1)求证:PC/AC=P
AM是△ABC中BC边长的中线,P为BC上任意一点,过点P作AM的平行线,分别交BA、CA(或其延长线)于点Q、R.求
可以看看吗?如图 在三角形ABC的边 BC CA上各取一点 P和Q,若BP:PC=CQ:QA=2:3,设AP,BQ的交点
如图 在三角形ABC的边 BC CA上各取一点 P和Q,若BP:PC=CQ:QA=2:3,设AP,BQ的交点为K 求BK