大师作文网集合证明题,数学高手进
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 08:37:20
集合证明题,数学高手进
已知集合A＝{m|m＝x²－y²,x,y∈Z}.B＝{m|m＝2k＋1或m＝4k.k∈Z}求证A＝B.
已知集合A＝{m|m＝x²－y²,x,y∈Z}.B＝{m|m＝2k＋1或m＝4k.k∈Z}求证A＝B.
m＝x²－y²=(x+y)(x-y)
1.如果x和y满足形式：x=2p+1,y=2q+1,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(x+y)(x-y)=[2(p+q)+2][2(p-q)]=4[(p+q+1)(p-q)]
[(p+q+1)(p-q)]也可以表示任意一个整数,所以m可以表示成m＝4k.k∈Z的形式.
2.如果x和y满足形式：x=2p,y=2q,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(x+y)(x-y)=[2(p+q)][2(p-q)]=4[(p+q)(p-q)]
[(p+q)(p-q)]也可以表示任意一个整数,所以m可以表示成m＝4k.k∈Z的形式.
3.如果x和y满足形式：
(1)x=2p+1,y=2q,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(2p+1)²-(2q)²=4(p²+p-q²)+1=2[2(p²+p-q²)]+1
(2)x=2p,y=2q+1,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(2p)²-(2q+1)²=4(p²-q²-q)-1=2[2(p²-q²-q)-1]+1
把（1）（2）结合起来考虑,2(p²+p-q²)和2(p²-q²-q)-1两部分可以表示任意的整数,所以m可以表示成m＝2k＋1.k∈Z的形式.
综合起来就有A＝B.
（分情况讨论确实有点麻烦,不过一时也没想到别的好方法.）
1.如果x和y满足形式：x=2p+1,y=2q+1,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(x+y)(x-y)=[2(p+q)+2][2(p-q)]=4[(p+q+1)(p-q)]
[(p+q+1)(p-q)]也可以表示任意一个整数,所以m可以表示成m＝4k.k∈Z的形式.
2.如果x和y满足形式：x=2p,y=2q,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(x+y)(x-y)=[2(p+q)][2(p-q)]=4[(p+q)(p-q)]
[(p+q)(p-q)]也可以表示任意一个整数,所以m可以表示成m＝4k.k∈Z的形式.
3.如果x和y满足形式：
(1)x=2p+1,y=2q,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(2p+1)²-(2q)²=4(p²+p-q²)+1=2[2(p²+p-q²)]+1
(2)x=2p,y=2q+1,pq都是任意的整数.
m＝x²－y²=(2p)²-(2q+1)²=4(p²-q²-q)-1=2[2(p²-q²-q)-1]+1
把（1）（2）结合起来考虑,2(p²+p-q²)和2(p²-q²-q)-1两部分可以表示任意的整数,所以m可以表示成m＝2k＋1.k∈Z的形式.
综合起来就有A＝B.
（分情况讨论确实有点麻烦,不过一时也没想到别的好方法.）