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满秩矩阵相乘的秩?要证明:当且仅当存在满秩矩阵X:m*p 和Y:n*p,且A=X*Y'时,矩阵A的秩是p.show th

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/25 07:20:25
满秩矩阵相乘的秩?
要证明:
当且仅当存在满秩矩阵X:m*p 和Y:n*p,且A=X*Y'时,矩阵A的秩是p.
show that a matrix A,m×n is of rank p if and only if there exists a full-rank matrix
X,m×p and a full-rank matrix Y,n×p such that A = XY‘ .
满秩矩阵相乘的秩?要证明:当且仅当存在满秩矩阵X:m*p 和Y:n*p,且A=X*Y'时,矩阵A的秩是p.show th
利用结论,rank(T)=P,当且仅当存在可逆矩阵M,N使得
T=M*diag(Ip,0)*N
必要性:如果rank(A)=p,由结论存在可逆矩阵P,Q,使得
A=P*diag(Ip,0)*Q
把P分成两列P=(P1,P2),Q分成两行Q=(Q1,Q2),相乘即可得到A=P1*Q1
取X=P1,Y'=Q1即可.P1,Q1是可逆阵的列阵,都是列满枝的.
充分性:X:m*p 的秩是p,存在P1,Q1,使得
X=P1×(Ip,0)'*Q1,Y=P2×(Ip,0)'*Q2,
A=XY'=P1×[[Q1Q2',0],[0,0]]*P2'
P1,P2'可逆,所以
rank(A)=rank(P1×[[Q1Q2',0],[0,0]]*P2')=rank([[Q1Q2',0],[0,0]])=rank(Q1*Q2')=p
Ip是p阶单位阵.