大师作文网证明不等式：当0
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 07:04:28
证明不等式：当0
考虑从函数的角度理解
证：
即证 tanx - x - x³/3 > 0 (0 < x < π/2)
令 f(x) = tanx - x - x³/3 x∈(0,π/2)
则 f'(x) = sec²x - 1 - x²
= tan²x - x²
= (tan + x)(tanx - x) 由 tanx + x > 0 令正数 ε = tanx + x > 0
= ε(tanx - x) [ tanx - x > 0 在(0,π/2) 内显然成立,为严谨起见证之 ]
令g(x) = tanx - x x∈(0,π/2)
则g'(x) = sec²x - 1
= tan²x > 0
故g(x) 在(0,π/2) 上单调递增
又 g(x) 在 [0,π/2) 上连续,g(x) > g(0) = 0
即 f'(x) = εg(x) > 0 x∈(0,π/2)
故 f(x) 在 (0,π/2) 上单调递增
又 f(x) 在 [0,π/2) 上连续,f(x) > f(0) = 0
即 tanx - x - x³/3 > 0 x∈(0,π/2)
故当 0 < x < π/2 时,tanx > x + x³/3 得证
* sec²x = 1/(cos²x)
** sec²x - 1 = tan²x
再问： wonderful\(^O^)/
证：
即证 tanx - x - x³/3 > 0 (0 < x < π/2)
令 f(x) = tanx - x - x³/3 x∈(0,π/2)
则 f'(x) = sec²x - 1 - x²
= tan²x - x²
= (tan + x)(tanx - x) 由 tanx + x > 0 令正数 ε = tanx + x > 0
= ε(tanx - x) [ tanx - x > 0 在(0,π/2) 内显然成立,为严谨起见证之 ]
令g(x) = tanx - x x∈(0,π/2)
则g'(x) = sec²x - 1
= tan²x > 0
故g(x) 在(0,π/2) 上单调递增
又 g(x) 在 [0,π/2) 上连续,g(x) > g(0) = 0
即 f'(x) = εg(x) > 0 x∈(0,π/2)
故 f(x) 在 (0,π/2) 上单调递增
又 f(x) 在 [0,π/2) 上连续,f(x) > f(0) = 0
即 tanx - x - x³/3 > 0 x∈(0,π/2)
故当 0 < x < π/2 时,tanx > x + x³/3 得证
* sec²x = 1/(cos²x)
** sec²x - 1 = tan²x
再问： wonderful\(^O^)/