设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y).
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 01:22:02
设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,用a表示f(12);
(3)若当x>0时,有f(x)>0,则f(x)在R上是增函数.
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,用a表示f(12);
(3)若当x>0时,有f(x)>0,则f(x)在R上是增函数.
(1)显然f(x)的定义域是R,关于原点对称.
又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(-3)=a且f(x)为奇函数,
∴f(3)=-f(-3)=-a.
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.
故f(12)=-4a.
(3)任取x1<x2,x2-x1>0,则f(x2-x1)>0
∴f(x2)+f(-x1)>0;
对f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=0,
再取y=-x得f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x),
∴有f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上是增函数.
又∵函数对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
∴令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(2)∵f(-3)=a且f(x)为奇函数,
∴f(3)=-f(-3)=-a.
又∵f(x+y)=f(x)+f(y),x、y∈R,
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=-4a.
故f(12)=-4a.
(3)任取x1<x2,x2-x1>0,则f(x2-x1)>0
∴f(x2)+f(-x1)>0;
对f(x+y)=f(x)+f(y)取x=y=0得:f(0)=0,
再取y=-x得f(x)+f(-x)=0即f(-x)=-f(x),
∴有f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上是增函数.
设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x、y都有f:(x+y)=f(x)+f(y).
设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求
设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求
已知函数f(x)是定义在R上的减函数,且对任意实数x,y都满足f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=1.若f(X)
f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当
定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f(0)≠0,判断f(x
定义在R上的函数f(x),对任意的x.y属于R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(x)不等于0.求证
设fx是定义在r上的函数且满足f零等于一并且对任意实数x、y有f(x-y)=f(x)-y(2x-
设f(x )是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),
定义在R上的函数f(x),对任意的x,y属于R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y).且f(0)≠0.
设函数y=f(x)是定义在R上的函数.对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y);当x大于1时,f(x)小于0;
已知f(x)是定义在R上的恒不为0的函数,且对任意实数x,y都满足f(x)*f(y)=f(x+y)(1)求f(0)并证明