证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/17 11:12:06
证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|
这个只好用定义去证明了,思路不是很难,就是运算麻烦点.不太好打,如果你手边能找到线性代数的书就再好不过了.
简单来说,就是构造2n阶的矩阵D(这里用分块矩阵表示)
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵,易得|D| = |A||B|
(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0的n阶对角矩阵)
下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换(具体过程很繁琐,略去)变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵,矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ...+ a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1,n + 2,.,2n列,将行列式按块展开,
D = (-1)^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
(C是对角线全为-1的对角矩阵,其行列式的值易求得)
即有|D| = |AB|
简单来说,就是构造2n阶的矩阵D(这里用分块矩阵表示)
D =
|A 0|
|C B|
这是一个上三角矩阵,易得|D| = |A||B|
(A、B是原来的n阶阵,O代表全零的n阶矩阵,C代表对角线上元素全部是-1,其他元素全部是0的n阶对角矩阵)
下面证明|D| = |AB|
对矩阵D施行初等行变换(具体过程很繁琐,略去)变换成下面的形式D =
|A M|
|C 0|
其中0还是全零矩阵,矩阵M的元素M(i,j) = a(i,1)b(1,j) + a(i,2)b(2,j) + ...+ a(i,n)b(n,j),(易看出M实际上就是矩阵AB)
取D的第n + 1,n + 2,.,2n列,将行列式按块展开,
D = (-1)^(1+2+3+..+n) * |C| * |M|
(C是对角线全为-1的对角矩阵,其行列式的值易求得)
即有|D| = |AB|
证明:若A,B为n阶矩阵 则|AB|=|A||B|
证明:设A,B为n阶矩阵,若AB=BA,则A,B秩相同
线性代数问题1假设矩阵A为m*n矩阵,B 为n阶矩阵.已知r(A)=n,证明(1)若AB=O则B=O(2)若AB=A则B
A,B为n阶矩阵且A+B=E,证明AB=BA
A,B均为n阶矩阵,AB=BA,证明:r(A+B)
矩阵证明题1、证明:若A与B都是n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵.2、证明:对任意的n阶矩阵A,A+A^T为对称矩阵,A
设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0
设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明:若A+B=AB,则A-E可逆.
设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明:(1)若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E
设A为n阶可逆矩阵,B为n×m矩阵,证明:秩(AB)=秩(B)
问一道线性代数证明题设矩阵A为m×n矩阵,B为n阶矩阵.已知r(A)=n,试证:(1)若AB=0,则B=0.(2)若AB
A为n阶非奇异矩阵,B为n*m矩阵,证明r(AB)=r(A)