已知函数f(x)=ax^3-5x^2+cx+d图像上点(1,8)处的切线过点(3,0),且f(x)在X=3有极值
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 21:14:24
已知函数f(x)=ax^3-5x^2+cx+d图像上点(1,8)处的切线过点(3,0),且f(x)在X=3有极值
1.求f(x)的解析式
2.若x∈(0,m)时,f(x)>0恒成立,求m的取值范围
1.求f(x)的解析式
2.若x∈(0,m)时,f(x)>0恒成立,求m的取值范围
∵f(x)经过(1,8) 则a-5+c+d=8
∵f'(x)=3ax²-10x+c
切线的斜率为f'(1)=3a-10+c
∴切线方程为y-8=(3a-10+c)(x-1)
∵经过(3,0) 则0-8=(3a-10+c)(3-1)
又∵f(x)在x=3处有极值 则f'(3)=0 ==>3a×3²-10×3+c =0
解得:a=1 c=3 d=9
∴f(x)=x³-5x²+3x+9
f′(x)=3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)由f′(x)=0得x1=1/3,x2=3
当x∈(0,1/3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增
∴f(x)>f(0)=9
当x∈(1/3,3)时,f′(x)<0,f(x)单调递减
∴f(x)>f(3)=0
又∵f(3)=0
∴当m>3时,f(x)>0在(0,m)内不恒成立
∴当且仅当m∈(0,3]时,f(x)>0在(0,m)内恒成立.
所以m取值范围为(0,3].
∵f'(x)=3ax²-10x+c
切线的斜率为f'(1)=3a-10+c
∴切线方程为y-8=(3a-10+c)(x-1)
∵经过(3,0) 则0-8=(3a-10+c)(3-1)
又∵f(x)在x=3处有极值 则f'(3)=0 ==>3a×3²-10×3+c =0
解得:a=1 c=3 d=9
∴f(x)=x³-5x²+3x+9
f′(x)=3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)由f′(x)=0得x1=1/3,x2=3
当x∈(0,1/3)时,f′(x)>0,f(x)单调递增
∴f(x)>f(0)=9
当x∈(1/3,3)时,f′(x)<0,f(x)单调递减
∴f(x)>f(3)=0
又∵f(3)=0
∴当m>3时,f(x)>0在(0,m)内不恒成立
∴当且仅当m∈(0,3]时,f(x)>0在(0,m)内恒成立.
所以m取值范围为(0,3].
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