已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)(a≠0)
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/11 10:24:26
已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)(a≠0)
(1)求证:y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)又若函数y=f(x)的图象在于直线x=b(b≠a)对称,证明函数y=f(x)是周期函数.
(1)求证:y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)又若函数y=f(x)的图象在于直线x=b(b≠a)对称,证明函数y=f(x)是周期函数.
(1)证明:设P(x,f(x))是y=f(x)上任一点,其关于x=a的对称点P’应为(2a-x,f(x)).
∵f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),
故P’坐标为(2a-x,f(2a-x))显然在y=f(x)图象上.
由点P的任意性知道y=f(x)关于x=a对称
证毕!
(2)∵函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称∴f(x)=f(2a-x)
∵函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称∴f(x)=f(2b-x)
∴f(2a-x)=f(2b-x)
设y=2b-x,那么f(y)=f[y+2(a-b)]
由于y是任意的所以f(x)是以2(a-b)为周期的周期函数.
∵f(a+x)=f(a-x),∴f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),
故P’坐标为(2a-x,f(2a-x))显然在y=f(x)图象上.
由点P的任意性知道y=f(x)关于x=a对称
证毕!
(2)∵函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称∴f(x)=f(2a-x)
∵函数y=f(x)的图象关于直线x=b对称∴f(x)=f(2b-x)
∴f(2a-x)=f(2b-x)
设y=2b-x,那么f(y)=f[y+2(a-b)]
由于y是任意的所以f(x)是以2(a-b)为周期的周期函数.
已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x)(a≠0)
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