高中数学竞赛试题及答案2009安徽
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/10 15:43:15
高中数学竞赛试题及答案2009安徽
2009年的数学竞赛初赛的试题及答案
2009年的数学竞赛初赛的试题及答案
2007年安徽省潜山中学高中数学竞赛试题
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 1、函数的最大值是( )
A、2 B、 C、 D、3
2. 已知,定义,则( )
A. B. C. D.
3. 已知正三棱锥P-ABC的外接球O的半径为1,且满足++=,则正三棱锥P-ABC的体积为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上任意一点,当取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为( )
A、 B、3 C、 D、2
5. 已知(R),且 则a的值有 ( )
(A)个 (B)个 (C)个 (D)无数个
6. 平面上有两个定点A、B,另有4个与A、B不重合的的动点.若使则称()为一个好点对.那么这样的好点对 ( )
A.不存在 B.至少有一个 C.至多有一个 D.恰有一个
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7. 不等式的解集为,那么的值等于__________.
8. 定义在R上的函数,对任意实数,都有和,且,则的值为_________.
9. 等差数列有如下性质:若是等差数列,则通项为的数列也是等差数列.类比上述性质,相应地,若是正项等比数列,则通项为_______________的数列也是等比数列.
10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是
11. 如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答).
12.已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围
三、解答题(本题满分60分,共4小题,每题各15分)
13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量
(1) 求的取值范围;
(2)若试确定实数的取值范围.
14. 已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).(Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC
把几何体分成的两部分;(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.
15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率.
16. 在数列中,
(Ⅰ)试比较与的大小;
(Ⅱ)证明:当时,.
参考答案:
1.B
2. 计算
可知是最小正周期为6的函数.即得,所以=,故选C.
3.B
4.B
5. D由题设知为偶函数,则考虑在时,恒有
.
所以当,且时,恒有.
由于不等式的解集为,不等式
的解集为.因此当时,恒有
. 故选(D).
6.B因为,所以.将区间[0,1]分成[],
三段,则中至少有两个值落在同一个小区间内(抽屉原理).所以满足的好点对()至少有一个.所以选B.
7.
8. =2005
9.
10. 36π
11. 390
12. 简设B点坐标为(y21–4,y1),C点坐标为(y2–4,y)
显然y21–4≠0,故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC,所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x,注意到y≠y1 得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得:y≤0或y≥4.
当y=0时,点B的坐标为(–3,–1);当y=4时,点B的坐标为(5,–3),均满足题意.故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.
13. 【标准答案】
因为
所以,由正弦定理,得,
即又所以即
.
(1)=
因此的取值范围是
(2)若则,
由正弦定理,得
设=,则,
所以
即
所以实数的取值范围为
14. (I)证明:依题意知:
(II)由(I)知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
则
要使
即M为PB的中点.
(III)以A为原点,AD、AB、AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(0,2,0),
C(1,1,0),D(1,0,0),
P(0,0,1),M(0,1,)
由(I)知平面,则
的法向量.
又为等腰
因为
所以AM与平面PCD不平行.
15. 如图, 设线段 的中点为 .过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、、, 则
.假设存在点 ,则 , 且 , 即
,
所以,.
于是, 故
.
若 (如图),则
.
当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, . 故 为正三角形.
若 ,则由对称性得
.
又 , 所以,椭圆 的离心率 的取值范围是, 直线 的斜率为 .
16. (Ⅰ)由题设知,对任意,都有
,
(Ⅱ)证法1:由已知得,
又.
当时,
设 ①
则 ②
①-②,得
证法2:由已知得,
(1) 当时,由,知不等式成立.假设当不等式成立,即,那么
要证 ,只需证
即证 ,则只需证………………10分
因为成立,所以成立.
这就是说,当时,不等式仍然成立.
根据(1)和(2),对任意,且,都有
只有这个了!
Hope To Help You!
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 1、函数的最大值是( )
A、2 B、 C、 D、3
2. 已知,定义,则( )
A. B. C. D.
3. 已知正三棱锥P-ABC的外接球O的半径为1,且满足++=,则正三棱锥P-ABC的体积为 ( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上任意一点,当取得最小值时,该双曲线离心率的最大值为( )
A、 B、3 C、 D、2
5. 已知(R),且 则a的值有 ( )
(A)个 (B)个 (C)个 (D)无数个
6. 平面上有两个定点A、B,另有4个与A、B不重合的的动点.若使则称()为一个好点对.那么这样的好点对 ( )
A.不存在 B.至少有一个 C.至多有一个 D.恰有一个
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7. 不等式的解集为,那么的值等于__________.
8. 定义在R上的函数,对任意实数,都有和,且,则的值为_________.
9. 等差数列有如下性质:若是等差数列,则通项为的数列也是等差数列.类比上述性质,相应地,若是正项等比数列,则通项为_______________的数列也是等比数列.
10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM,若侧棱SA=2,则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是
11. 如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种(用数字作答).
12.已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B、C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围
三、解答题(本题满分60分,共4小题,每题各15分)
13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量
(1) 求的取值范围;
(2)若试确定实数的取值范围.
14. 已知等腰梯形PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PD=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).(Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC
把几何体分成的两部分;(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线AM是否平行面PCD.
15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , 使 为正三角形, 求椭圆的离心率 的取值范围, 并用 表示直线 的斜率.
16. 在数列中,
(Ⅰ)试比较与的大小;
(Ⅱ)证明:当时,.
参考答案:
1.B
2. 计算
可知是最小正周期为6的函数.即得,所以=,故选C.
3.B
4.B
5. D由题设知为偶函数,则考虑在时,恒有
.
所以当,且时,恒有.
由于不等式的解集为,不等式
的解集为.因此当时,恒有
. 故选(D).
6.B因为,所以.将区间[0,1]分成[],
三段,则中至少有两个值落在同一个小区间内(抽屉原理).所以满足的好点对()至少有一个.所以选B.
7.
8. =2005
9.
10. 36π
11. 390
12. 简设B点坐标为(y21–4,y1),C点坐标为(y2–4,y)
显然y21–4≠0,故kAB=(y1–2)/(y21–4)=1/(y1+2).由于AB⊥BC,所以kBC=–(y1+2).从而y–y1=–(y1+2)[x–(y21–4)],y2=x+4消去x,注意到y≠y1 得:(2+y1)(y+y1)+1=0→y21+(2+y)y1+(2y+1)=0.由Δ≥0解得:y≤0或y≥4.
当y=0时,点B的坐标为(–3,–1);当y=4时,点B的坐标为(5,–3),均满足题意.故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.
13. 【标准答案】
因为
所以,由正弦定理,得,
即又所以即
.
(1)=
因此的取值范围是
(2)若则,
由正弦定理,得
设=,则,
所以
即
所以实数的取值范围为
14. (I)证明:依题意知:
(II)由(I)知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD.
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
则
要使
即M为PB的中点.
(III)以A为原点,AD、AB、AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系
则A(0,0,0),B(0,2,0),
C(1,1,0),D(1,0,0),
P(0,0,1),M(0,1,)
由(I)知平面,则
的法向量.
又为等腰
因为
所以AM与平面PCD不平行.
15. 如图, 设线段 的中点为 .过点 、、 分别作准线的垂线, 垂足分别为 、、, 则
.假设存在点 ,则 , 且 , 即
,
所以,.
于是, 故
.
若 (如图),则
.
当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 , 它的中垂线交左准线于 , 由上述运算知, . 故 为正三角形.
若 ,则由对称性得
.
又 , 所以,椭圆 的离心率 的取值范围是, 直线 的斜率为 .
16. (Ⅰ)由题设知,对任意,都有
,
(Ⅱ)证法1:由已知得,
又.
当时,
设 ①
则 ②
①-②,得
证法2:由已知得,
(1) 当时,由,知不等式成立.假设当不等式成立,即,那么
要证 ,只需证
即证 ,则只需证………………10分
因为成立,所以成立.
这就是说,当时,不等式仍然成立.
根据(1)和(2),对任意,且,都有
只有这个了!
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