整个数学王国都是在几个简单公理的基础上推导出来的,但是好象公理是无法证明的,比如：a+b=b+a.那么公理就是人们实际经

整个数学王国都是在几个简单公理的基础上推导出来的,但是好象公理是无法证明的,比如：a+b=b+a.那么公理就是人们实际经验的总结吗?还是可以用逻辑学或其他学科来证明?但是人的经验是很不可靠的,万一某一天发现了错误,那整个数学王国就有崩塌的危险?

没有公理化就没有数学体系,公理化是数学理论基础的来源.数学里的公理是人为任意性的,公理只不过是导出结论的逻辑演绎基础而已,是存在有适用范围与前提条件的.所谓的公理化只不过是属于一种前置预设的约定规定的定义,然后再因此而进行演绎推导等后续性活动.
数学公理化并不等于普遍化,公理化只是属于个别案例情况,受到前提条件的制约.我们所有的知识几乎都是相对某一范围,不具有完全普遍的意义,所以公设公理也只能在一定条件下才具有真实可靠的意义.我们暂时先不讨论数学,先讨论数学的前提即存在着的事实,因为误解就发生在前提的事实上.
原理是从公理推导出来的,数学是在前提公理化规定后演绎的.可以在没有理中进行人为性制造理,通过假设假定来进行制造公理,然后通过公理来推导出来原理,然后再由原理而推导出来定理.所有的理都是通过人为性规定各种而推导出来的,而不是真实自然之理.
论证来源于直观事实,将未经证明证实或解释的事实作为假设假定来进行推理论证.在技术上只要是有效都是可行的,可是在认识上却无法行得通.公理也是通过人为性规定的,它并不能够成为检验数学正确与否的标准.于是不得不重新规定制造一个选择性公理来限制原来的公理.
公理化是表达我们意思的一种方法,可以起到没有矛盾的作用,但是本质上的和谐来自我们的直觉想象.形式上的推理在某些方面可以表达很多内容,如希尔伯特所说,点线面的概念可以代表许多事物,同样的表达同一个事物我们可以采用不同的形式.而公理化所表达的只不过是其中一种意思.将逻辑法则认定为真理体系,是对真理的阉割歪曲.数学是人为性规定的一个体系,并不是一个真理体系,所谓的真理只是表现了数学家们的良好愿望而已.数学的生命力的实质并不在于公理化,而在于实际应用上的需要,这才是数学生命力和价值的真正所在.正是数学具有这样的实用功效,并以此为动力推动了数学的发展,并且超越了实际直接应用上的界限.
用数学方法可以推得其它定理,却无法得到公理,这公理不是数学自身的产物,而是数学存在着必不可少的前提,没有公理数学体系就建立不起来.有些情况是这样有些情况又是那样的,我们现在常取舍符合我们人为性要求的,而不顾其它事实,但是对于另些则是无效,这是存在一定的有效性.超越了前提范围,问题就自然会暴露出来,这时我们还得再重新考虑范围以外的问题,当另些问题已解决时这时又出现了悖论问题,于是人们陷入了认识的怪圈之中无法自拔.
我们不应该害怕和反对消除悖论,悖论是一件好事,对我们有所启迪帮助,很容易发现问题的.数学悖论并不是一种危机,而带给人们的却是一种更加完整全面的清醒认识.应该准确地说逻辑只是某种局限的在适用范围内有效,否则产生悖论是很正常必然的.
理发师的故事,前后的前提是不一样的,如果混在一起则为悖论.不只是具有双值逻辑而是具有多值逻辑.它适用的前提基础,适用范围即前提限制,即优先确定在某一区域范围,这是由数学本身的特点所决定的,因为它本身就不是包罗万象全面适用的.即前提是存在即有效只在一定的前提条件下才是有效的.
数学只是在有限的条件范围内有效,这才是数学适用的前提条件.集合悖论产生于前提条件的公理系统,独立性与兼容性和一致性与完全性的同时采用,公理系统与形式系统的逻辑演绎方法无法解决这个问题.