已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对任意x1x2∈R,且x1<x2,f(x1)不等于f(x2),试证明存
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 15:23:50
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对任意x1x2∈R,且x1<x2,f(x1)不等于f(x2),试证明存在x0∈(x1,x2) ,使f(x0)=1/2[f(x1)+f(x2)]成立
证明:
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)<f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1<A<A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1<x<x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A<0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A>0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在(x1,x2)内必有一实数根.
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)<f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1<A<A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1<x<x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A<0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A>0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在(x1,x2)内必有一实数根.
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