微积分证明题：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续,下面不等式是否成立,成立证明,不成立举反例

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 14:25:59

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这就是Cauchy——Schwartz不等式.
证明：令h(x)=f(x)+tg(x),t是实数；
则积分(从a到b)h(x)^2dx>=0,即
积分(从a到b)f^2(x)dx+2t*积分(从a到b)f(x)g(x)dx+t^2*积分(从a到b)g^2(x)dx>=0 (*)
对任意的实数t成立.
若积分(从a到b)g^2(x)dx=0,则（*）式要想对任意的t成立必须有
积分(从a到b)f(x)g(x)=0,于是原不等式成立.
若积分(从a到b)g^2(x)dx>0,则(*)式是一个关于t的二次函数,要想对
所有的t成立,必须且只须判别式
再问：您看错了吧……式子右边是[∫a..b f(x) dx]^2.... 平方在积分外面。
再答：那真是不好意思。确实看错了。那肯定结论不成立。随便取个对称区间，比如【-1,1】任取奇函数f(x)，g(x)=f(x)，比如f(x)=g(x)=x，则不等式右边是0，左边不是0，不等式不成立。

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