大师作文网已知曲线C:x^2+y^2/a=1,直线l:kx-y-k=0,O为坐标原点.若直线l与x轴的交点为P,当a>0时,是否存
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/22 06:55:50
已知曲线C:x^2+y^2/a=1,直线l:kx-y-k=0,O为坐标原点.若直线l与x轴的交点为P,当a>0时,是否存在这样的以点P为直角顶点的内接于曲线C的等腰直角三角形?
若存在,求出共有几个.若不存在,请说明理由. 提示：a要讨论.
若存在,求出共有几个.若不存在,请说明理由. 提示：a要讨论.
P=（1,0）
a>0时,曲线C是椭圆,P也是它与x.轴正半轴的交点,它与y轴的交点为：(0,√a),(0,-√a)
设直线l与椭圆的另一个交点为A（xA,yA）,可解得：xA=(k²-a)/(k²+a)
于是|AP|=2a[√(k²+1)]/(k²+a)
过P点且垂直于直线l的直线方程为：y=-(1/k)(x-1),设它与椭圆的另一个交点为B（xB,yB）,同样可解得：xB=(1-ak²)/(1+ak²)
于是|BP|=2ak[√(k²+1)]/(1+ak²)
由|AP|=|BP|可得：k³-1=ak(k-1)
从中解出：k=1或k²-(a-1)k+1=0
当△=(a-1)²-4
a>0时,曲线C是椭圆,P也是它与x.轴正半轴的交点,它与y轴的交点为：(0,√a),(0,-√a)
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于是|AP|=2a[√(k²+1)]/(k²+a)
过P点且垂直于直线l的直线方程为：y=-(1/k)(x-1),设它与椭圆的另一个交点为B（xB,yB）,同样可解得：xB=(1-ak²)/(1+ak²)
于是|BP|=2ak[√(k²+1)]/(1+ak²)
由|AP|=|BP|可得：k³-1=ak(k-1)
从中解出：k=1或k²-(a-1)k+1=0
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