大师作文网已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/20 21:41:53
已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数G(x)＝f(x)−
x
（1）若方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的最小值不大于-3a，且函数G(x)＝f(x)−
| 1 |
| 3 |
（1）设二次函数为f（x）=ax2+bx+c
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴-1，2是方程ax2+（b-2）x+c=0的两个根
∴
1 ＝
2−b
a
−2＝
c
a①
∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根即
ax2+bx+c+3a=0有两个相等的实根
∴△=b2-4a（c+3a）=0②
解①②得a＝
2
3，b＝
4
3，c＝−
4
3
∴f(x)＝
2
3x2+
4
3x−
4
3
（2）根据题意得f(x)＝ax2+(2−a)x−2a＝a(x+
2−a
2a)2+
−8a2−(2−a)2
4a
∵a＞0，所以f（x）的最小值为
−8a2−(2−a)2
4a
则
−8a2−(2−a)2
4a≤−3a
得−2≤a≤
2
3
由G(x)＝f(x)−
1
3x3−ax2−
3
2x在R上是减函数，
G′(x)＝−x2 +
1
2−a ≤0在R上恒成立
∴
1
2−a≤0
得到a≥
1
2，
综上所述
1
2≤a≤
2
3
∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴-1，2是方程ax2+（b-2）x+c=0的两个根
∴
1 ＝
2−b
a
−2＝
c
a①
∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根即
ax2+bx+c+3a=0有两个相等的实根
∴△=b2-4a（c+3a）=0②
解①②得a＝
2
3，b＝
4
3，c＝−
4
3
∴f(x)＝
2
3x2+
4
3x−
4
3
（2）根据题意得f(x)＝ax2+(2−a)x−2a＝a(x+
2−a
2a)2+
−8a2−(2−a)2
4a
∵a＞0，所以f（x）的最小值为
−8a2−(2−a)2
4a
则
−8a2−(2−a)2
4a≤−3a
得−2≤a≤
2
3
由G(x)＝f(x)−
1
3x3−ax2−
3
2x在R上是减函数，
G′(x)＝−x2 +
1
2−a ≤0在R上恒成立
∴
1
2−a≤0
得到a≥
1
2，
综上所述
1
2≤a≤
2
3
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（1，3）．
已知二次函数f（x）的二次项系数为a,且不等式f（x）＞-2x的解集为（1,3）,
已知二次函数f（x）的二次项系数为a,且不等式f（x）＞-2x的解集为（1,3）.
已知二次函数f（x）的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）.
已知二次函数f（x）的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x.的解集为（1,3）
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为（1,3）.
已知二次函数f（x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为（1,3）
已知二次函数F（x)的二次项系数为a且不等式F(x)大于-2x的解集为（1,3）
已知二次函数f(x)的二次项系数是a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）
已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的集为（1,3）x
已知二次函数f(x)的二次函数系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为（1,3）
已知二次函数f（x）的二次项系数a（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．