已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,且k≠0.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/26 02:12:56
已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,且k≠0.
(1)若f(2)=3,求函数f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,设函数g(x)=f(x)-mx,若g(x)在区间[-2,2]上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)是否存在k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)若f(2)=3,求函数f(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下,设函数g(x)=f(x)-mx,若g(x)在区间[-2,2]上是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)是否存在k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(1)由f(2)=3,可得4k+2(3+k)+3=3,∴k=-1
∴f(x)=-x2+2x+3;
(2)由(1)得g(x)=f(x)-mx=-x2+(2-m)x+3,函数的对称轴为x=
2−m
2
∵g(x)在区间[-2,2]上是单调函数,
∴
2−m
2≤−2或
2−m
2≥2
∴m≤-2或m≥6;
(3)f(x)=kx2+(3+k)x+3的对称轴为x=−
3+k
2k
①k>0时,函数图象开口向上,x=−
3+k
2k<0,此时函数f(x)在[-1,4]上的最大值是f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4,∴k=−
11
20<0,不合题意,舍去;
②k<0时,函数图象开口向下,x=−
3+k
2k=−
1
2−
3
2k>−
1
2,
1°若−
1
2<−
3+k
2k≤4,即k≤−
1
3时,函数f(x)在[-1,4]上的最大值是f(−
3+k
2k)=
12k−(k+3)2
4k=4
∴k2+10k+9=0,∴k=-1或k=-9,符合题意;
2°若−
3+k
2k>4,即−
1
3<k<0时,函数f(x)在[-1,4]上递增,最大值为f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4,
∴k=−
11
20<−
1
3,不合题意,舍去;
综上,存在k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4,且k=-1或k=-9.
∴f(x)=-x2+2x+3;
(2)由(1)得g(x)=f(x)-mx=-x2+(2-m)x+3,函数的对称轴为x=
2−m
2
∵g(x)在区间[-2,2]上是单调函数,
∴
2−m
2≤−2或
2−m
2≥2
∴m≤-2或m≥6;
(3)f(x)=kx2+(3+k)x+3的对称轴为x=−
3+k
2k
①k>0时,函数图象开口向上,x=−
3+k
2k<0,此时函数f(x)在[-1,4]上的最大值是f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4,∴k=−
11
20<0,不合题意,舍去;
②k<0时,函数图象开口向下,x=−
3+k
2k=−
1
2−
3
2k>−
1
2,
1°若−
1
2<−
3+k
2k≤4,即k≤−
1
3时,函数f(x)在[-1,4]上的最大值是f(−
3+k
2k)=
12k−(k+3)2
4k=4
∴k2+10k+9=0,∴k=-1或k=-9,符合题意;
2°若−
3+k
2k>4,即−
1
3<k<0时,函数f(x)在[-1,4]上递增,最大值为f(4)=16k+(3+k)×4+3=20k+15=4,
∴k=−
11
20<−
1
3,不合题意,舍去;
综上,存在k使得函数f(x)在[-1,4]上的最大值是4,且k=-1或k=-9.
已知函数f(x)=kx2+(3+k)x+3,其中k为常数,且k≠0.
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已知两个函数F(x)=8x^2+16x-k,G(x)= 2x^3+5x^2+4x其中k为常数.
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已知两个函数F(x)=8x^2+16x-k,G(x)= 2x^3+5x^2+4x其中k为常数.(1)对任意的 x属于[-
已知反比例函数y=k−1x(k为常数,k≠1).