设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组β1=α1+2α2＋α3,β2=α1＋α2＋α3,β3=α1+3α2＋4α

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 05:56:15

设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组β1=α1+2α2＋α3,β2=α1＋α2＋α3,β3=α1+3α2＋4α3

证法1:设 k1β1+k2β2+k3β3=0
则 k1(α1+2α2+α3)+k2(α1+α2+α3)+k3(α1+3α2+4α3)=0
即有 (k1+k2+k3)α1+(2k1+k2+3k3)α2+(k1+k2+4k3)α3=0
因为 α1,α2,α3 线性无关
所以
k1+k2+k3 = 0
2k1+k2+3k3 = 0
k1+k2+4k3 = 0
因为系数行列式
1 1 1
2 1 3
1 1 4
= -3 ≠ 0
所以方程组只有零解:k1=k2=k3=0
所以 β1,β2,β3 线性无关.
另证:由已知
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P
其中P=
1 1 1
2 1 3
1 1 4
且由|P|= -3 ≠ 0 知P可逆.
因为α1,α2,α3线性无关
所以 r(β1,β2,β3)=r(P)=3.[参]
所以 β1,β2,β3 线性无关.

设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组α1+α3,α2+α3,α3也线性无关. 线性相关性的证明题!设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β≠0满足（αi,β）=0,i=1,2,3,判断向量组α1,α 设向量组α1,α2,α3线性无关,证明α1,α1+α2,α1+α2+α3也线性无关线性代数设α1,α2,α3 线性无关问以下向量组是否线性无关? 设向量组α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,证明向量α1必可表示为α2,α3,α4的线性组合设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组α1－a2－2α3,α2-α3,α3也线性无关. 线性代数：证明向量组β,β+α1,β+α2,...β+αr线性无关向量组α1,α2,α3,α4线性无关,α1,α2,α3,α5线性相关,试证明向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关设向量组α1ā2ā3线性无关,证明:向量组ā1-ā2-ā3,ā2-ā3,ā3也线性无关设向量组α1,α2,…,αn线性无关,向量组β,α1,α2,…,αn线性相关β,α1,α2,…,αn证明有且仅有一个向量设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组β1=α1+2α2＋α3,β2=α1＋α2＋α3,β3=α1+3α2＋4α 设向量组 α1 α2 α3 线性无关 β= λα1+ λ2α2+λ3α3