为什么球的表面积(4πR^2)正好是球体积(4/3 πR^3)的导数?
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/04 12:23:28
为什么球的表面积(4πR^2)正好是球体积(4/3 πR^3)的导数?
包括圆的周长(2πR)也正好是圆的面积(πR^2)的导数
偶然发现有这条规律在里面,
包括圆的周长(2πR)也正好是圆的面积(πR^2)的导数
偶然发现有这条规律在里面,
证明:先就圆的周长(2πR)也正好是圆的面积(πR^2)的关于R导数证明.
设有一个圆的半径为R,另一个与它同心的圆的半径为R+△R.
先看两个同心圆组成的圆带,它的面积是π(R+△R)^2-πR^2.当△R相当小时,该圆带近似为宽为△R的长方形条,其长度近似(π(R+△R)^2-πR^2)/△R.对△R求极限.lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R就是半径为R的圆的周长.
而:lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R=πR^2对R的导数=2πR.
关于体积也可以像上面一样类似的证明,不过换成同心球体就可以了.
受你的启发,如果把正方形的半边长当成半径(即正方形的中心到每边的距离).那么这个发现对正方形、正方体对成立.
设有一个圆的半径为R,另一个与它同心的圆的半径为R+△R.
先看两个同心圆组成的圆带,它的面积是π(R+△R)^2-πR^2.当△R相当小时,该圆带近似为宽为△R的长方形条,其长度近似(π(R+△R)^2-πR^2)/△R.对△R求极限.lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R就是半径为R的圆的周长.
而:lim(π(R+△R)^2-πR^2)/△R=πR^2对R的导数=2πR.
关于体积也可以像上面一样类似的证明,不过换成同心球体就可以了.
受你的启发,如果把正方形的半边长当成半径(即正方形的中心到每边的距离).那么这个发现对正方形、正方体对成立.
为什么球的表面积(4πR^2)正好是球体积(4/3 πR^3)的导数?
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