蝴蝶定理证明xm等于my令 x = XM , a = PM　　则 AX · XD = PX · XQ = a² - x²

蝴蝶定理
证明xm等于my令 x = XM , a = PM
　　则 AX · XD = PX · XQ = a² - x²（角A为γ，角AMX为β，角DMX为α）
　　在 ΔDXM 中，由正弦定理：
　　DX = x·sin(α)/sin(180° - (α + β + γ)) = x·sin(α)/sin(α + β + γ).
　　在 ΔAXM 中： AX = x·sin(β)/sin(γ)
　　所以有
　　AX · DX = x²·sin(α)·sin(β)/sin(γ)·sin(α + β + γ) = a² - x²
　　∴ x² = a²·sin(γ)·sin(α + β + γ))/(sin(α)·sin(β) + sin(γ)·sin(α + β + γ))
　　在上面的式子中， α 和 β 是对称的. 如果我们令 y = MY，会得到同样的结果
　　∴ x = y请问为什么“α 和 β 是对称的. 如果我们令 y = MY，会得到同样的结果
　　∴ x = y”以下情况也成立吗？
角对称是角相等吗

解题思路： 希望对你有帮助 。
解题过程：
你好，由于你的证明过程不全，所以我看不出角α，β，r角所对应是那个角。所以也就无从回答你的问题。但是我知道你是想证明蝴蝶定理，对吧。下面我给你几种证明方法或许比这种更简单一些。 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。 则 又，为的中点，从而， 则 ，于是。^[1] 证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 1 联结交圆于，则与关于对称，即 。又 故四点共圆，即 而 2 由1、2知，，故。 证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ， 由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。^[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven给出）如图5，并令 由，即 化简得 即 ，从而 。 证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有 上述两式相减，得 设分别为的中点，由，有 于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。 证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为 。直线的方程为，直线的方程为。 由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 令，知点和点的横坐标满足二次方程， 由于的系数为，则两根和之和为，即，故。^[5] 证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为 直线、的方程可写为,。 又设的坐标为，则分别是二次方程 的一根。在轴上的截距为 。 同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。 证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则 即 1 2 作于，作于。注意到 3 由与可得 4 将34代入12可得，即。
二 蝴蝶定理的推广和猜想 （一） 猜想 1　在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍 可能会有 PM = QM . 推论 1　过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM. 证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ; ∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ; 记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4. 则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ② 又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2. 由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.^[3] （二）猜想 2　在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM . 推论 2　已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM. 证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K . 连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) . 又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③ 又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④ 从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ. 又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤ 由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM. （三）猜想 3　既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM . 推论 3　 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM. 证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF. 在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。^[4] 结 论 从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广： 1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。 2 .圆可以改为任意二次曲线。 3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。 4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立 正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。