来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/22 04:18:53
已知f(x)=x
2,g(x)=lnx,直线l:y=kx+b(常数k、b∈R)使得函数y=f(x)的图象在直线l的上方,同时函数y=g(x)的图象在直线l的下方,即对定义域内任意x,lnx<kx+b<x
2恒成立.
试证明:
(1)k>0,且-lnk-1<b<-
k
(1)根据题意,得 对任意x,lnx<kx+b,所以k> lnx−b x…(1分), 因为k、b是常数,所以当x充分大时,lnx>b, 从而k> lnx−b x>0…(2分). 因为kx+b<x 2即x 2-kx-b>0恒成立, 所以△=(-k) 2+4b<0,得b<- k2 4…(4分). 因为lnx<kx+b即kx+b-lnx>0恒成立, 设h(x)=kx+b-lnx,则h'(x)=k- 1 x…(5分), 由h'(x)=0得x= 1 k>0, ∴0<x< 1 k时,h'(x)<0,h(x)单调递减;x> 1 k时时,h'(x)<0,h(x)单调递增…(7分), 所以h(x)的极小值从而也是最小值为h( 1 k)=1+b-ln 1 k=1+b+lnk…(8分), 因为kx+b-lnx>0恒成立,所以h( 1 k)=1+b+lnk>0,即b>-lnk-1,从而-lnk-1<b<- k2 4成立;…(9分). (2)由(1)知-lnk-1<- k2 4,从而 k2 4<lnk+1,其中k是正数…(10分), 如图,根据幂函数与对数函数单调性, 可得k应介于曲线f(x)=x 2与g(x)=lnx的两个交点的横坐标之间, 设这两个交点横坐标分别为x 1、x 2,且x 1<x 2.…(11分), 因为k=e− 1 2时, k2 4< 1 2=lnk+1,k=e时, k2 4= e2 4<2=lnk+1…(13分), 所以(e− 1 2,e)是(x 1,x 2)的真子集, 由此可得:“e− 1 2<k<e”是“lnx<kx+b<x 2”成立的充分不必要条件.…(14分).
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