想证明一个分段函数的连续性,是不是要看他的可导性,如题,该怎么求……谢谢

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 22:23:51

这题都出过多少次了.详细解答如下：
首先,连续是连续,可导是可导,题目要你先证明连续性你就先证这个,凡事一步一步来不要跳.注意这里只需要证明函数在x=0点连续以及可导,只要证明这一点就够了,其他的点是不是连续,是不是可导我们根本就不关心.利用连续性、导数的定义还有题设条件就完了.
证明函数f(x)在x=0点的连续性只需要证明在x=0处极限值等于函数值.
亦即lim (x趋于0) phi(x)/x = f(0) = 1,因为此时x是“趋于”0,不是“等于”0,因此极限符号里面的f(x)的表达式必须套用x不为零那一段的函数值；(phi就是题目里的希腊字母,我的拼写是按照发音拼的,英语里ph发/f/的音,所以念作/fi/).由于：
phi ' (0) = lim (x趋于0) [phi(x) - phi(0) ]/x （导数定义）
= lim (x趋于0) phi(x)/x （phi(0) = 0）
= 1 (题目给的,phi ' (0) =1)
于是,lim (x趋于0) phi(x)/x = 1,连续性证毕；
关于在x=0的可导性,还是根据定义,考察如下极限：
f'(0) = lim (x趋于0) [f(x) - f(0)]/x
= lim (x趋于0) [ phi (x)/x - 1]/x
注意到,当x趋于0时,分子分母都是趋于0的,因为我们刚才证明过了lim (x趋于0) phi(x)/x = 1.（所以我们必须循序渐进地先证明连续性再证明可导性,这里必须利用我们刚证明过的连续性）
由于是0/0不定式,加上phi(x)是二阶连续可导的,所以可以考虑用罗比达法则,
f'(0) = lim (x趋于0) [ phi ' (x) * x - phi(x)]/x^2 (^2为平方,* 为乘号)
这同样是一个0/0型,因为题目已知phi (0) = 0.于是继续用一次罗比达法则,
f'(0) = lim (x趋于0) [ phi '' (x) * x + phi ' (x) - phi ' (x)] / (2x)
= lim (x趋于0) [ phi '' (x) * x ] / (2x) = lim (x趋于0) phi '' (x) / 2
由于函数phi '' (x)在x=0处连续（二阶连续导数）,所以,
f'(0) = lim (x趋于0) phi '' (x) / 2 = phi '' (0) / 2
现在已经求出了导数,而且phi '' (0)是完全有定义的（说phi(x)在x=0有二阶连续导数就等于默认phi '' (0)是存在的）,证毕.
如果题目继续告诉你phi '' (0)是多少,直接代入就能求f'(0) 了.
这题太老了,我读本科的时候对这个题印象非常深刻.考了好几次这个题.

想证明一个分段函数的连续性,是不是要看他的可导性,如题,该怎么求……谢谢分段函数的连续性怎么判断关于函数的连续性如下图,该怎么变化下面的式子,这题应该怎么解啊,谢谢多元函数的连续性怎么证明? 函数的连续性,相关证明,求过程. 求第六题二元函数连续性的证明. 判断分段函数的连续性和可导性（有图）分段函数的连续性问题讨论分段函数连续性的问题分段函数的连续性和解答求函数可导性之前要先证明函数的连续性吗怎样证明函数的连续性和可导性