大师作文网火车在跑,车上有10个人,前面有6个站.每个人都会在6个站的其中一个站下车,并且已知每个站至少有一个人下车.请问存在多少
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 12:55:51
火车在跑,车上有10个人,前面有6个站.每个人都会在6个站的其中一个站下车,并且已知每个站至少有一个人下车.请问存在多少种下车的情况?回答满意直接追加80分.
要真这么简单我不会挂出来问的。回答前请参考下前面的回答，不要都一样随便给个答案，要有这么简单我也不问啦！
答案是16435440，给出个合理做法，我是用程序跑出来的！
要真这么简单我不会挂出来问的。回答前请参考下前面的回答，不要都一样随便给个答案，要有这么简单我也不问啦！
答案是16435440，给出个合理做法，我是用程序跑出来的！
这个问题的结论是6!S(10,6)=16435440.
其中S(n,k)表示第二类Stirling数,它的组合含义是：把n元集划分为k个非空子集,各子集间不计次序,所得的分法数为即为S(n.k).
在本题中,10个人相当于10元集,6个站相当于6个非空子集.注意到各站之间是有区别的,所以本题结论为6!S(10,6).
一般来说,S(n.k)没有闭形式的表达式,也就是说此题没法用很简便的形式表达.
计算机里常用递推式S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)及初值S(n,1)=S(k,k)=1来求S(n.k).
这个递推式的证明不难,而且比较有趣,下面说一下.
从n元集中取定一个元素A,如果A独占某一个集合,那问题变成剩下的n-1个数分成k-1个非空集合,此时有S(n-1,k-1)种分法.
如果A所在的集合还有其他元素,先不考虑A,剩下的n-1个数分成个非空集合,有S(n-1,k)种分法；把A加入时,由k个不同位置可选择,故此时有有kS(n-1,k)种分法.
综上,S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k).
另一种求S(n,k)的方式是利用容斥原理,用在本题中计算量可以接受.下面就以本题为例讲一下.
如果不考虑每站都有人下车的条件,每个人有6种选择,结论就是6^10.
这样显然算多了,至少有一站没人下的情况应刨去.先从6站里选出一站没人下,再让10个人从剩下五站中选,共C(6,1)*(5^10)种情形.初步的结论是6^10-C(6,1)*(5^10).
仔细分析一下,上面的过程由多刨掉了一些.比如第1,2站都没人下的情形,上面刨除时按第1站没人下刨了一次,又按第二站没人下刨了一次.应该补上C(6,2)*(4^10).
依此类推,由容斥原理,结论应为：
6^10-C(6,1)*(5^10)+C(6,2)*(4^10)-C(6,3)*(3^10)+C(6,4)*(2^10)-C(6,5)*(1^10) (*)
=60466176-58593750+15728640-1180980+15360-6
=16435440.
综上,此题用容斥原理好算些,可以兼顾计算的简单性和思想的通用性.
顺便一提,“pengp0918”网友的方法确实可行,算出的数也是对的（只是最后一步多加了个1）.但那种方法不具有思想上的通用性.若k较大,需讨论的情况太多,过于繁杂.而容斥原理的方法则不然,只要把10和6换成一般的n和k,上面的(*)式仍然可以求出答案.
其中S(n,k)表示第二类Stirling数,它的组合含义是：把n元集划分为k个非空子集,各子集间不计次序,所得的分法数为即为S(n.k).
在本题中,10个人相当于10元集,6个站相当于6个非空子集.注意到各站之间是有区别的,所以本题结论为6!S(10,6).
一般来说,S(n.k)没有闭形式的表达式,也就是说此题没法用很简便的形式表达.
计算机里常用递推式S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)及初值S(n,1)=S(k,k)=1来求S(n.k).
这个递推式的证明不难,而且比较有趣,下面说一下.
从n元集中取定一个元素A,如果A独占某一个集合,那问题变成剩下的n-1个数分成k-1个非空集合,此时有S(n-1,k-1)种分法.
如果A所在的集合还有其他元素,先不考虑A,剩下的n-1个数分成个非空集合,有S(n-1,k)种分法；把A加入时,由k个不同位置可选择,故此时有有kS(n-1,k)种分法.
综上,S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k).
另一种求S(n,k)的方式是利用容斥原理,用在本题中计算量可以接受.下面就以本题为例讲一下.
如果不考虑每站都有人下车的条件,每个人有6种选择,结论就是6^10.
这样显然算多了,至少有一站没人下的情况应刨去.先从6站里选出一站没人下,再让10个人从剩下五站中选,共C(6,1)*(5^10)种情形.初步的结论是6^10-C(6,1)*(5^10).
仔细分析一下,上面的过程由多刨掉了一些.比如第1,2站都没人下的情形,上面刨除时按第1站没人下刨了一次,又按第二站没人下刨了一次.应该补上C(6,2)*(4^10).
依此类推,由容斥原理,结论应为：
6^10-C(6,1)*(5^10)+C(6,2)*(4^10)-C(6,3)*(3^10)+C(6,4)*(2^10)-C(6,5)*(1^10) (*)
=60466176-58593750+15728640-1180980+15360-6
=16435440.
综上,此题用容斥原理好算些,可以兼顾计算的简单性和思想的通用性.
顺便一提,“pengp0918”网友的方法确实可行,算出的数也是对的（只是最后一步多加了个1）.但那种方法不具有思想上的通用性.若k较大,需讨论的情况太多,过于繁杂.而容斥原理的方法则不然,只要把10和6换成一般的n和k,上面的(*)式仍然可以求出答案.
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