大师作文网感觉电灯剑客老师,逻辑方面很好,所以想再麻烦您帮我看2个逻辑问题,数学一直在用逻辑,但总是偏重计算,而不去讨论逻辑问题,
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/11/16 02:07:47
感觉电灯剑客老师,逻辑方面很好,所以想再麻烦您帮我看2个逻辑问题,数学一直在用逻辑,但总是偏重计算,而不去讨论逻辑问题,或对逻辑问题总是一笔带过；
一、
举个例子说明我的问题：
如果“若P则Q”中“条件P”和“结论Q”有相同的成份时(如我举的例子中条件和结论都有A^-1),这样命题的逆命题该怎么写;
例：“若A可逆,则A^*=|A|A^-1”的逆命题：
写法1：若A^*=|A|A^-1,则A可逆；
写法2：若存在B,使得A^*=|A|B,则A可逆,且A^-1=B；
写法1,我觉得很怪异,条件A^*=|A|A^-1中已有A^-1,再去结论A^-1；感觉这样的逆命题完全没有意义；但有身边很多同学认为写法1是正确的,写法2是错的,因为拿到“若P则Q”写逆命题直接写成“若Q则P”就行,不用管那么多；
但我觉得写法2才对,意思上也说得通,逻辑上感觉也对；
所以想请教下您,您觉得哪种写法对?或者两者都有问题,那该怎么写呢?
----------------------------------------------
二、还是举个例子来说明我的困惑；
如：设f(x)=x,则lim(x->0)f(x)=?;我们一般就这样做题,填个0；
但从逻辑角度说,我填lim(x->0)f(x)=“0或1”逻辑上也是对的啊;但老师100%肯定会批我错,老师为啥会批我错?
我的感觉：因为符合逻辑的,不一定符合要求；又因为题目虽然没有要求填几个数,但默认是要求我们求能取到的数,1是取不到的,所以不符合要求；所以老师会批错；
不好意思给你添麻烦了,
一、
举个例子说明我的问题：
如果“若P则Q”中“条件P”和“结论Q”有相同的成份时(如我举的例子中条件和结论都有A^-1),这样命题的逆命题该怎么写;
例：“若A可逆,则A^*=|A|A^-1”的逆命题：
写法1：若A^*=|A|A^-1,则A可逆；
写法2：若存在B,使得A^*=|A|B,则A可逆,且A^-1=B；
写法1,我觉得很怪异,条件A^*=|A|A^-1中已有A^-1,再去结论A^-1；感觉这样的逆命题完全没有意义；但有身边很多同学认为写法1是正确的,写法2是错的,因为拿到“若P则Q”写逆命题直接写成“若Q则P”就行,不用管那么多；
但我觉得写法2才对,意思上也说得通,逻辑上感觉也对；
所以想请教下您,您觉得哪种写法对?或者两者都有问题,那该怎么写呢?
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二、还是举个例子来说明我的困惑；
如：设f(x)=x,则lim(x->0)f(x)=?;我们一般就这样做题,填个0；
但从逻辑角度说,我填lim(x->0)f(x)=“0或1”逻辑上也是对的啊;但老师100%肯定会批我错,老师为啥会批我错?
我的感觉：因为符合逻辑的,不一定符合要求；又因为题目虽然没有要求填几个数,但默认是要求我们求能取到的数,1是取不到的,所以不符合要求；所以老师会批错；
不好意思给你添麻烦了,
首先要明确,所谓的"P=>Q的逆命题是Q=>P"只是一种很粗略的讲法,有时要把P中的部分条件提取出来作为大前提,另外还有一些大前提则是隐式的,不直接出现在命题里,但是也要注意.所以在写逆命题的时候先要明确有哪些大前提是保持不动的,余下的条件才能作为P.
对于“若A可逆,则A^*=|A|A^{-1}”,比较好的方式是翻译（用更清晰的数学语言代替）成
对于n阶矩阵A,（隐含的前提）
若存在n阶矩阵B满足AB=BA=I（若A可逆）
则A^*=|A|A^{-1}.
不过不要以为到此为止了,逻辑上仍然有很多缺失,比如说这个命题本身还隐含了一些大前提,包括代数体系,行列式和伴随阵的定义.再有就是逆矩阵的唯一性(凭什么A可逆了就可以写一个A^{-1}在那里?),所有这些其实都是条件,我写的翻译里面把可逆阵的定义包含进去了,不然的话这个定义也需要作为隐含的大前提.
那么我们现在把这些大前提都提取出来,余下的部分就可以简单地写成
AB=BA=I => A^*=|A|B
那么逆命题就是
A^*=|A|B => AB=BA=I
然后把结论翻译成比较通俗的语言就是B是A的逆阵,或者说B=A^{-1}.
对于一个具体的命题而言,哪些条件应该作为大前提,哪些作为条件P去推结论Q,这个没什么具体的标准,除了逻辑上有依赖关系的条件之外,可以认为很多条件互相是平等的,一个条件也可以由多个条件来构成,所以一般不要指望逆命题的唯一性,要写逆命题也要把那些前提条件都分离出来.
二是关于习题的叙述方式,同样,这只是一个习惯或者约定,大多数时候需要回答的是充要条件,或者说是"最恰当"的答案.
比如 设f(x)=x,则lim(x->0)f(x)=______,那么填上“0或1”逻辑上确实是对的,但是并不和结论等价.当然,如果你填上sin(3pi)其实就是等价的了,但是考试拿多少分也不好说,有人会认为这里有逻辑跳跃.
另外一种 当____时ax^2=1有两个实根,逻辑上填“a=1”也能构成充分条件,但是同样这个不是a>0的等价条件,习惯上这类问题也需要填充要条件.
从学习的角度讲当然要考察等价的条件,从应试的角度讲也要尊重一下习惯,总不至于说看到选择题的要求是“选出'你认为'正确的答案”就要求拿到满分.
再问： 谢谢老师那么耐心详细的回答；感动的； 那我写的“写法2“和 您的“A^*=|A|B => B=A逆”有区别吗？我觉得是一个意思；“写法2“正确的吧？
再答： 对的，一样的
再问： 再问您一个极端的例子。 例：设A是n阶矩阵，则AA*=|A|E； 条件“A是n阶矩阵”感觉就是个废话，不写这个条件，直接说AA*=|A|E也对啊；那么这个命题有逆命题吗？逆命题是啥？是真还是假?
再答： 这里同样隐含了很多条件，比如A*和|A|的定义，矩阵的乘法。 如果以A*的定义作为条件，可以写成 设A是n(>1)阶矩阵， B=A* => AB=|A|E 逆命题就是 AB=|A|E => B=A* 这个显然不是真命题
再问： 设A是n阶矩阵，则AA*=|A|E； 条件：A是n阶矩阵；结论：AA*=|A|E； 所以逆命题：若AA*=|A|E，则A是“n阶”矩阵； 不是应该这样吗？
再答： 你所谓的“逆命题”根本不是命题，条件中的AA*=|A|E缺乏逻辑基础，连A是什么东西都没有提到过。你把我几次回答的东西好好看看，思考一下为什么一定需要某些大前提。
再问： 简单说,大前提是构成命题之所以成立的一些隐式条件啊,如你写AA*=|A|E,里面必然涉及行列式,矩阵...这样的定义;这是我们说AA*=|A|E成立的逻辑基础; 所以“例：设A是n阶矩阵，则AA*=|A|E；”中，大前提必然包含A是n阶矩阵，所以命题写得详细点就是：设A是n阶矩阵，若B=A，|则AA*=|A|E； ------------------------- 但有一句话"所以一般不要指望逆命题的唯一性",这点我其实没看懂，逆命题不是唯一的？
再答： 哪些条件应该提取出来作为大前提并不是唯一确定的，所以可以产生不同的逆命题。当前提条件完全确定的时候逆命题当然应该是唯一的。 比如说， A是n阶矩阵，如果A^2=I且A对称，那么A是正交阵。 1.如果把A是n阶矩阵作为前提，那么逆命题是 A是n阶矩阵，如果A是正交阵，那么A^2=I且A对称。 2.如果把A是n阶矩阵和A^2=I同时作为前提，那么逆命题是 A是n阶矩阵，如果A^2=I且A是正交阵，那么A对称。 3.如果把A是n阶矩阵和A对称同时作为前提，那么逆命题是 A是n阶矩阵，如果A对称且A是正交阵，那么A^2=I。 这里根据不同的标准产生了3个逆命题，而事实上后两个是比较有价值的，很多逆定理确实就是这样的形式。
对于“若A可逆,则A^*=|A|A^{-1}”,比较好的方式是翻译（用更清晰的数学语言代替）成
对于n阶矩阵A,（隐含的前提）
若存在n阶矩阵B满足AB=BA=I（若A可逆）
则A^*=|A|A^{-1}.
不过不要以为到此为止了,逻辑上仍然有很多缺失,比如说这个命题本身还隐含了一些大前提,包括代数体系,行列式和伴随阵的定义.再有就是逆矩阵的唯一性(凭什么A可逆了就可以写一个A^{-1}在那里?),所有这些其实都是条件,我写的翻译里面把可逆阵的定义包含进去了,不然的话这个定义也需要作为隐含的大前提.
那么我们现在把这些大前提都提取出来,余下的部分就可以简单地写成
AB=BA=I => A^*=|A|B
那么逆命题就是
A^*=|A|B => AB=BA=I
然后把结论翻译成比较通俗的语言就是B是A的逆阵,或者说B=A^{-1}.
对于一个具体的命题而言,哪些条件应该作为大前提,哪些作为条件P去推结论Q,这个没什么具体的标准,除了逻辑上有依赖关系的条件之外,可以认为很多条件互相是平等的,一个条件也可以由多个条件来构成,所以一般不要指望逆命题的唯一性,要写逆命题也要把那些前提条件都分离出来.
二是关于习题的叙述方式,同样,这只是一个习惯或者约定,大多数时候需要回答的是充要条件,或者说是"最恰当"的答案.
比如 设f(x)=x,则lim(x->0)f(x)=______,那么填上“0或1”逻辑上确实是对的,但是并不和结论等价.当然,如果你填上sin(3pi)其实就是等价的了,但是考试拿多少分也不好说,有人会认为这里有逻辑跳跃.
另外一种 当____时ax^2=1有两个实根,逻辑上填“a=1”也能构成充分条件,但是同样这个不是a>0的等价条件,习惯上这类问题也需要填充要条件.
从学习的角度讲当然要考察等价的条件,从应试的角度讲也要尊重一下习惯,总不至于说看到选择题的要求是“选出'你认为'正确的答案”就要求拿到满分.
再问： 谢谢老师那么耐心详细的回答；感动的； 那我写的“写法2“和 您的“A^*=|A|B => B=A逆”有区别吗？我觉得是一个意思；“写法2“正确的吧？
再答： 对的，一样的
再问： 再问您一个极端的例子。 例：设A是n阶矩阵，则AA*=|A|E； 条件“A是n阶矩阵”感觉就是个废话，不写这个条件，直接说AA*=|A|E也对啊；那么这个命题有逆命题吗？逆命题是啥？是真还是假?
再答： 这里同样隐含了很多条件，比如A*和|A|的定义，矩阵的乘法。 如果以A*的定义作为条件，可以写成 设A是n(>1)阶矩阵， B=A* => AB=|A|E 逆命题就是 AB=|A|E => B=A* 这个显然不是真命题
再问： 设A是n阶矩阵，则AA*=|A|E； 条件：A是n阶矩阵；结论：AA*=|A|E； 所以逆命题：若AA*=|A|E，则A是“n阶”矩阵； 不是应该这样吗？
再答： 你所谓的“逆命题”根本不是命题，条件中的AA*=|A|E缺乏逻辑基础，连A是什么东西都没有提到过。你把我几次回答的东西好好看看，思考一下为什么一定需要某些大前提。
再问： 简单说,大前提是构成命题之所以成立的一些隐式条件啊,如你写AA*=|A|E,里面必然涉及行列式,矩阵...这样的定义;这是我们说AA*=|A|E成立的逻辑基础; 所以“例：设A是n阶矩阵，则AA*=|A|E；”中，大前提必然包含A是n阶矩阵，所以命题写得详细点就是：设A是n阶矩阵，若B=A，|则AA*=|A|E； ------------------------- 但有一句话"所以一般不要指望逆命题的唯一性",这点我其实没看懂，逆命题不是唯一的？
再答： 哪些条件应该提取出来作为大前提并不是唯一确定的，所以可以产生不同的逆命题。当前提条件完全确定的时候逆命题当然应该是唯一的。 比如说， A是n阶矩阵，如果A^2=I且A对称，那么A是正交阵。 1.如果把A是n阶矩阵作为前提，那么逆命题是 A是n阶矩阵，如果A是正交阵，那么A^2=I且A对称。 2.如果把A是n阶矩阵和A^2=I同时作为前提，那么逆命题是 A是n阶矩阵，如果A^2=I且A是正交阵，那么A对称。 3.如果把A是n阶矩阵和A对称同时作为前提，那么逆命题是 A是n阶矩阵，如果A对称且A是正交阵，那么A^2=I。 这里根据不同的标准产生了3个逆命题，而事实上后两个是比较有价值的，很多逆定理确实就是这样的形式。