如图1,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴

如图1,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与x轴

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为（3,0）,OB=OC,tan∠ACO=1/3．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标；若不存在,请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度．
（4）如图,若点G（2,y）是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．
分析：（1）求二次函数的表达式,需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标,且OB=OC,可知C（0,3）,tan∠ACO=1/3,则A坐标为（-1,0）．将A,B,C三点坐标代入关系式,可求得二次函数的表达式．
（2）假设存在这样的点F（m,n）,已知抛物线关系式,求出顶点D坐标,今儿求出直线CD,E是直线与x轴交点,可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形,则CE∥AF,则两直线斜率相等,可列等式（1）,CE=AF,可列等式（2）,F在抛物线上,为等式（3）,根据这三个等式,即可求出m、n是否存在．
（3）分情况讨论,当圆在x轴上方时,根据题意可知,圆心必定在抛物线的对称轴上,设圆半径为r,则N的坐标为（r+1,r）,将其代入抛物线解析式,可求出r的值．当圆在x轴的下方时,方法同上,只是N的坐标变为（r+1,-r）,代入抛物线解析式即可求解．
（4）G在抛物线上,代入解析式求出G点坐标,设点P的坐标为（x,y）,即（x,x2-2x-3）已知点A、G坐标,可求出线段AG的长度,以及直线AG的解析式,再根据点到直线的距离求出P到直线的距离,即为三角形AGP的高,从而用x表示出三角形的面积,然后求当面积最大时x的值．
（1）方法一：由已知得：C（0,-3）,A（-1,0）
将A、B、C三点的坐标代入
得 {a-b+c=0,9a+3b+c=0,c=-3
解得：{a=1,b=-2,c=-3
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0,-3）,A（-1,0）
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3）
将C点的坐标代入得：a=1
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3
（2）方法一：存在,F点的坐标为（2,-3）
理由：易得D（1,-4）,
所以直线CD的解析式为：y=-x-3
∴E点的坐标为（-3,0）
由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F,坐标为（2,-3）
方法二：易得D（1,-4）,所以直线CD的解析式为：y=-x-3
∴E点的坐标为（-3,0）
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2,-3）或（-2,-3）或（-4,3）
代入抛物线的表达式检验,只有（2,-3）符合
∴存在点F,坐标为（2,-3）
（3）如图,①当直线MN在x轴上方时,
设圆的半径为R（R＞0）,则N（R+1,R）,
代入抛物线的表达式,解得 R=(1+√17)/2
②当直线MN在x轴下方时,
设圆的半径为r（r＞0）,
则N（r+1,-r）,
代入抛物线的表达式,
解得 r=(-1+√17)/2
∴圆的半径为(1+√17)/2或(-1+√17)/2．
（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得G（2,-3）,直线AG为y=-x-1．
设P（x,x²-2x-3）,则Q（x,-x-1）,
PQ=-x²+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=1/2（-x²+x+2）×3
当x=1/2时,△APG的面积最大
此时P点的坐标为（1/2,-15/4）,S△APG的最大值为27/8