在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 15:30:21

在曲面27xy²z³=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等
设F(x,y,z)=27xy²z³-4=0,M(x₀,y₀,z₀)是该曲面上的一点.
∂F/∂x=27y²z³； ∂F/∂y=54xyz³； ∂F/∂z=81xy²z²；那么过M的切平面方程为：
27y₀²z₀³(x-x₀)+54x₀y₀z₀³(y-y₀)+81x₀y₀²z₀²(z-z₀)=0
化简得y₀z₀(x-x₀)+2x₀z₀(y-y₀)+3x₀y₀(z-z₀)=0
即有y₀z₀x+2x₀z₀y+3x₀y₀z-6x₀y₀z₀=0.(1)
令y=0,z=0,得切平面在x轴上的截距x=6x₀；
令x=0,z=0,得切平面在y轴上的截距y=3y₀；
令x=0,y=0,得切平面在z轴上的截距z=2z₀.
已知6x₀=3y₀=2z₀=a,故x₀=a/6,y₀=a/3,z₀=a/2；代入曲面方程得：
27(a/6)(a/3)²(a/2)³=27a⁶/(6×9×8)=4
由此得a⁶=4×6×9×8/27=64,故得a=2.
∴x₀=1/3；y₀=2/3；z₀=1.代入(1)式即得在三个坐标轴的截距都相等的切平面方
程为：(2/3)x+(2/3)y+(2/3)z-4/3=0
化简得x+y+z-2=0为所求.
再问：那么过M的切平面方程为： 27y₀²z₀³(x-x₀)+54x₀y₀z₀³(y-y₀)+81x₀y₀²z₀²(z-z₀)=0 请问一下这个是为什么？
再答：请看一下高数教材“曲面的切平面及法线”一节好吗？这是一个公式，死套而已！要我详加解释，可能又臭又长，还是免了吧！

在曲面27xy2z3=4上求切平面,使它在三个坐标轴上的截距相等已知平面过点M（5,-7,4）且在各坐标轴上的截距相等,求该平面方程过点A（1.2）作直线l使它在两坐标轴上的截距的绝对值相等,则直线l的条数是已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点(-3,-4)到它的距离等于5,求直线l的方程有一个曲面,怎么求它在XOZ坐标平面上的投影域? 求过点p(4,2,3),且在三坐标轴上截距离相等的平面坐标方程怎么解过平面上定点M(1,4)引一条直线,使它在两个坐标轴上的截距都是正确的,且二截距之和最小,求次直线方程怎样求空间曲面在坐标平面上的投影? 在曲面z=xy上求一点,使该点处曲面的法线垂直于平面x+3y+z+9=0 经过点（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是______．证明曲面根号x+根号y+根号z=根号a (a大于0)上任何点处的切平面在各坐标轴... 已知圆x^2+y^2+4x-2y+3=0,求在两坐标轴上的截距相等的切线方程为