用向量法证明:空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 21:38:33
用向量法证明:空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等
为方便,下面#后的代表向量.
#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.
对角线的点积:#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD
两组对边平方和分别为:
AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC
AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA
则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0
所以原命题成立,空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等
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#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.
对角线的点积:#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD
两组对边平方和分别为:
AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC
AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA
则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0
所以原命题成立,空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等
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用向量证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四边形的平方和.
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