如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2. (I)求证
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/24 16:41:13
如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2. (I)求证:平面EAB⊥平面ABCD; (II)求二面角A-EC-D的余弦值.
过A作平面AGH⊥EC分别交EC、DE于G、H.
∵ABCD是菱形,∴AD=AB=2、AD∥BC,又∠ABC=60°,∴∠DAF=120°.
由余弦定理,有:DF^2=AB^2+AF^2-2AD×AFcos∠DAF=4+1-2×2×1×cos120°=7,
∴DF=√7.
∵EF⊥平面ABCD,∴EF⊥DF,
∴由勾股定理,有:DE=√(DF^2+EF^2)=√(7+1)=2√2.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2.
由余弦定理,有:
cos∠AEG=(AE^2+EC^2-AC^2)/(2AE×EC)=(2+4-4)/(2×√2×2)=√2/4.
∵EG⊥平面AGH,∴EG⊥AG,∴EG/AE=cos∠AEG=√2/4,∴EG=(√2/4)AE=1/2,
∴由勾股定理,有:AG=√(AE^2-EG^2)=√(2-1/4)=√7/2.
∵ABCD是菱形,∴CD=AB=2,又EC=2、DE=2√2,∴DE^2=CD^2+EC^2,
∴由勾股定理的逆定理,有:CD⊥EC,而CD=EC,∴∠GEH=45°.
∵EG⊥平面AGH,∴EG⊥GH,又∠GEH=45°,∴GH=EG=1/2、EH=√2/2.
由余弦定理,有:
cos∠AED=(DE^2+AE^2-AD^2)/(2DE×AE)=(8+2-4)/(2×2√2×√2)=6/8=3/4.
由余弦定理,有:
AH^2=EH^2+AE^2-2EH×AEcos∠AED=1/2+2-2×(√2/2)×√2×(3/4)=1.
由余弦定理,有:
cos∠AGH=(AG^2+GH^2-AH^2)/(2AG×GH)=(7/4+1/4-1)/[2×(√7/2)×(1/2)]
=1/(√7/2)=2√7/7.
∵AG⊥CE、HG⊥CE、H∈DE,∴∠AGH=二面角A-CE-D的平面角,
∴二面角A-CE-D的余弦值为 2√7/7.
∵ABCD是菱形,∴AD=AB=2、AD∥BC,又∠ABC=60°,∴∠DAF=120°.
由余弦定理,有:DF^2=AB^2+AF^2-2AD×AFcos∠DAF=4+1-2×2×1×cos120°=7,
∴DF=√7.
∵EF⊥平面ABCD,∴EF⊥DF,
∴由勾股定理,有:DE=√(DF^2+EF^2)=√(7+1)=2√2.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2.
由余弦定理,有:
cos∠AEG=(AE^2+EC^2-AC^2)/(2AE×EC)=(2+4-4)/(2×√2×2)=√2/4.
∵EG⊥平面AGH,∴EG⊥AG,∴EG/AE=cos∠AEG=√2/4,∴EG=(√2/4)AE=1/2,
∴由勾股定理,有:AG=√(AE^2-EG^2)=√(2-1/4)=√7/2.
∵ABCD是菱形,∴CD=AB=2,又EC=2、DE=2√2,∴DE^2=CD^2+EC^2,
∴由勾股定理的逆定理,有:CD⊥EC,而CD=EC,∴∠GEH=45°.
∵EG⊥平面AGH,∴EG⊥GH,又∠GEH=45°,∴GH=EG=1/2、EH=√2/2.
由余弦定理,有:
cos∠AED=(DE^2+AE^2-AD^2)/(2DE×AE)=(8+2-4)/(2×2√2×√2)=6/8=3/4.
由余弦定理,有:
AH^2=EH^2+AE^2-2EH×AEcos∠AED=1/2+2-2×(√2/2)×√2×(3/4)=1.
由余弦定理,有:
cos∠AGH=(AG^2+GH^2-AH^2)/(2AG×GH)=(7/4+1/4-1)/[2×(√7/2)×(1/2)]
=1/(√7/2)=2√7/7.
∵AG⊥CE、HG⊥CE、H∈DE,∴∠AGH=二面角A-CE-D的平面角,
∴二面角A-CE-D的余弦值为 2√7/7.
如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2√2,AE=BE=2. (I)求证
如图已知四棱锥E-ABCD的地面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=根号2,
如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=2,PA=√3
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E为BC中点,求证:AE⊥PD.
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E在PD上,且P
已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,且∠ABC=60°,PA=PC=2,PB=PD.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,E、F分别是PB、CD的中点,且PB=PC
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,PB=PD=AB=2,PA=PC,AC与BD相交于点O.
如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形,且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=1,PA=根号3,E为PC中点.
如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=√2a,点E在PD上,且PE:E