大师作文网两道数学证明题（有关数学归纳法）
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 17:34:56
两道数学证明题（有关数学归纳法）
1.证明 n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.数列{an}满足Sn=2n-an（n属于正整数）,先计算前四项后再猜想an,并证明之.
1.证明 n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.数列{an}满足Sn=2n-an（n属于正整数）,先计算前四项后再猜想an,并证明之.
1.当n=1时,n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6能被6整除；
假设当n=k时,n(n+1)(2n+1)=k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)=(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)=k(k+2)(2k+3)+(k+2)(2k+3)=k(k+1)(2k+3)+k(2k+3)+(2k^2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)+(4k^2+10k+6)=k(k+1)(2k+1)+(6k^2+12k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2,由于k(k+1)(2k+1)与6(k+1)^2都能被6整除,所以当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)也能被6整除,综合以上结论可知,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.S1=a1=2-a1,a1=1=2-1;
S2=a1+a2=1+a2=4-a2,a2=3/2=2-1/2;
S3=a1+a2+a3=1+3/2+a3=6-a3,a3=7/4=2-1/4;
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4,a4=15/8=2-1/8.
推测an=2-(1/2)^(n-1)
由上面可知,当n=1、2、3、4时,Sn=2n-an成立.
假设当n=k时,Sn=2n-an即Sk=2k-ak成立,
那么当n=k+1时,左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-ak+a(k+1)=2k-[2-(1/2)^(k-1)]+[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^(k-1)-(1/2)^k=2k+(1/2)^k;右边=2(k+1)-a(k+1)=2k+2-[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^k.左边=右边,即当n=k+1时,Sn=2n-an也成立.
综合上面结论可知,使数列{an}满足Sn=2n-an的通项公式为an=2-(1/2)^(n-1).满足Sn=2n-an
假设当n=k时,n(n+1)(2n+1)=k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)=(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)=(k+1)(k+2)(2k+3)=k(k+2)(2k+3)+(k+2)(2k+3)=k(k+1)(2k+3)+k(2k+3)+(2k^2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)+(4k^2+10k+6)=k(k+1)(2k+1)+(6k^2+12k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2,由于k(k+1)(2k+1)与6(k+1)^2都能被6整除,所以当n=k+1时,n(n+1)(2n+1)也能被6整除,综合以上结论可知,n(n+1)(2n+1)能被6整除.
2.S1=a1=2-a1,a1=1=2-1;
S2=a1+a2=1+a2=4-a2,a2=3/2=2-1/2;
S3=a1+a2+a3=1+3/2+a3=6-a3,a3=7/4=2-1/4;
S4=a1+a2+a3+a4=1+3/2+7/4+a4=8-a4,a4=15/8=2-1/8.
推测an=2-(1/2)^(n-1)
由上面可知,当n=1、2、3、4时,Sn=2n-an成立.
假设当n=k时,Sn=2n-an即Sk=2k-ak成立,
那么当n=k+1时,左边=S(k+1)=Sk+a(k+1)=2k-ak+a(k+1)=2k-[2-(1/2)^(k-1)]+[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^(k-1)-(1/2)^k=2k+(1/2)^k;右边=2(k+1)-a(k+1)=2k+2-[2-(1/2)^k]=2k+(1/2)^k.左边=右边,即当n=k+1时,Sn=2n-an也成立.
综合上面结论可知,使数列{an}满足Sn=2n-an的通项公式为an=2-(1/2)^(n-1).满足Sn=2n-an