求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 14:27:09
求教两道数分题
1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,
求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.
2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)
1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,
求证lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在.
2.设数列{x(n)}满足,对于任意n,m属于N有0≤x(n+m)
第一题的极限应该是不存在的.
(以下“数”指自然数)
当2^N的首位不为7也不为8时,显然有N(7)=N(8),此时N(7)/N(8)=1.在N足够大时,N>N',也会存在N,使得2^N的首位不为7也不为8.所以,如果lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在,那么必然有lim(N->+∞)N(7)/N(8)=1.
当2^N的首位为7或8时,设2^N的位数为m,位数小于m的数中,以7为首位的数字的个数,与以8为首位的数字的个数相同,而不超过2^N,位数为m的自然数中,以7为首位的数字的个数,多于以8为首位的数字的个数(若2^N=899...999,个数也相同,但是这种情况并不存在),所以此时N(7)>N(8).位数小于m的数中,以7(或8)为首位的数字的个数为(10^(m-1)-1)/9;位数为m的数中,以7(或8)为首位的数字的个数为10^(m-1),比之前个数的9倍要多.若2^N=7999...999,则N(7)/N(8)>10.(这种情况也不可能出现,只作为假设)
当2^N的首位为7时,第二位若不为0,则N(7)/N(8)>2.这种情况在N足够大时,也会出现,所以im(N->+∞)N(7)/N(8)不存在.
……………………………………………………………………………………
第二题,从单调有界的思路入手
0≤x(n)/n3e, 那么对于上式,绝对值中的式子y(m)-q e。 取n为满足的最小的自然数2^n>2m,则2^nk>m,x(2^n)< x(m)+x(k)。 y (2^n)< [m*y(m)+k*y(k)]/ 2^n= m*y(m) / 2^n +k*y(k) / 2^n [ 2^n* y (2^n) - m*(q-e)]/k > q+ 3e*m/k >q+e, 即y(k) >q+e,与 在N->+∞时,x(N)/N≤q矛盾。 得证。 然后证明:在N->+∞时,[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0,其中2^m0,且其极限为0,单调递减。N=p(m)*2^m+p(m-1)*2^(m-1)+...+ p(2)*2^2+p(1)*2+ p(0),其中p(i)为1或0。 对于任意e>0,存在足够大的M,使得z(M)2^(2M)时,[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N +∞时,[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0。
(以下“数”指自然数)
当2^N的首位不为7也不为8时,显然有N(7)=N(8),此时N(7)/N(8)=1.在N足够大时,N>N',也会存在N,使得2^N的首位不为7也不为8.所以,如果lim(N->+∞)N(7)/N(8)存在,那么必然有lim(N->+∞)N(7)/N(8)=1.
当2^N的首位为7或8时,设2^N的位数为m,位数小于m的数中,以7为首位的数字的个数,与以8为首位的数字的个数相同,而不超过2^N,位数为m的自然数中,以7为首位的数字的个数,多于以8为首位的数字的个数(若2^N=899...999,个数也相同,但是这种情况并不存在),所以此时N(7)>N(8).位数小于m的数中,以7(或8)为首位的数字的个数为(10^(m-1)-1)/9;位数为m的数中,以7(或8)为首位的数字的个数为10^(m-1),比之前个数的9倍要多.若2^N=7999...999,则N(7)/N(8)>10.(这种情况也不可能出现,只作为假设)
当2^N的首位为7时,第二位若不为0,则N(7)/N(8)>2.这种情况在N足够大时,也会出现,所以im(N->+∞)N(7)/N(8)不存在.
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第二题,从单调有界的思路入手
0≤x(n)/n3e, 那么对于上式,绝对值中的式子y(m)-q e。 取n为满足的最小的自然数2^n>2m,则2^nk>m,x(2^n)< x(m)+x(k)。 y (2^n)< [m*y(m)+k*y(k)]/ 2^n= m*y(m) / 2^n +k*y(k) / 2^n [ 2^n* y (2^n) - m*(q-e)]/k > q+ 3e*m/k >q+e, 即y(k) >q+e,与 在N->+∞时,x(N)/N≤q矛盾。 得证。 然后证明:在N->+∞时,[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0,其中2^m0,且其极限为0,单调递减。N=p(m)*2^m+p(m-1)*2^(m-1)+...+ p(2)*2^2+p(1)*2+ p(0),其中p(i)为1或0。 对于任意e>0,存在足够大的M,使得z(M)2^(2M)时,[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N +∞时,[p(m)*2^m*z(m)+...+p(1)*2*z(1)+ p(0)*z(0)]/N ->0。
求教两道数分题1.用N(k)表示不超过2^N的所有的自然数中以K为首位的数字的个数,求证lim(N->+∞)N(7)/N
用f(N)表示自然数N的各数位上数字和,在N大于2,求所有的N,使f(N的七次方)等于N.
lim n^2(k/n-1/n+1-1/n+2-.-1/n+k)(其中K是与N无关的常数)
lim(n趋向于无穷)(k/n-1/n+1-1/n+2-‘‘‘‘-1/n+k)(其中K为与N无关的正整数)
对于自然数n,n的约数个数用A(n)表示,n的所有约数的和用B(n)表示.
lim(n→∞) ((2n!/n!*n)^1/n的极限用定积分求
用收敛的必要条件证明lim(n->∞) (2^n)*(n!)/(n^n)=0
给出一个自然数n,所有小于n且与n互质的自然数的个数用A(n)表示,为什么n>2时A(n)一定是偶数?
求lim(n趋向无穷)∑(k=1,2···,n)k/((n+k)*(n+k+1))的值
给出一个自然数N,N的因数个数用A(N)表示……
lim∑SIN(K/n2) K从1到n n→∞...极限怎么算的.(n2表示n的平方)
求证:对于任意自然数n,代数式n(n+7)-(n-2)(n-3)的值都能被6整除.