大师作文网一道关于连续函数有界性的高数题
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/24 22:24:06
一道关于连续函数有界性的高数题
证明：若函数f(x)在(a,+∞)连续,且limf(x)=A与limf(x)=B,则f(x)在(a,+∞)有界.
证明：若函数f(x)在(a,+∞)连续,且limf(x)=A与limf(x)=B,则f(x)在(a,+∞)有界.
因为
lim(x→a+) f(x)=A
根据定义：
对去定的ε0=1,存在δ1>0,当x∈(a,a+δ1),就有|f(x)-A|0,当x>X,就有|f(x)-B|
再问： ”再当x∈[a+δ1/2，X+1]，因为f(x)连续，在该闭区间内必有最大值M，最小值m“为什么要取a+δ1/2和X+1这两个点？为什么X+1就一定比a+δ1/2大？不用讨论a和X之间的大小关系吗？先谢谢了
再答： 在这里其实取[a+δ1,X]也是可以的 主要思想就是将原区间分成3段，在每一段上都能取得上下界，再取出这6个数中的最大最小值，就能说明它们就是函数的界了 X+1肯定会比a+δ1/2大的 这个其实可以感觉得到（从定义来感觉） 如果实在感觉不到也不用怕，只需要对定义进行限定，就可以了 lim(x→a+) f(x)=A 根据定义： 对取定的ε0=1，存在|a|>δ1>0，当x∈(a,a+δ1)，就有|f(x)-A|2|a|>0，当x>X，就有|f(x)-B|
lim(x→a+) f(x)=A
根据定义：
对去定的ε0=1,存在δ1>0,当x∈(a,a+δ1),就有|f(x)-A|0,当x>X,就有|f(x)-B|
再问： ”再当x∈[a+δ1/2，X+1]，因为f(x)连续，在该闭区间内必有最大值M，最小值m“为什么要取a+δ1/2和X+1这两个点？为什么X+1就一定比a+δ1/2大？不用讨论a和X之间的大小关系吗？先谢谢了
再答： 在这里其实取[a+δ1,X]也是可以的 主要思想就是将原区间分成3段，在每一段上都能取得上下界，再取出这6个数中的最大最小值，就能说明它们就是函数的界了 X+1肯定会比a+δ1/2大的 这个其实可以感觉得到（从定义来感觉） 如果实在感觉不到也不用怕，只需要对定义进行限定，就可以了 lim(x→a+) f(x)=A 根据定义： 对取定的ε0=1，存在|a|>δ1>0，当x∈(a,a+δ1)，就有|f(x)-A|2|a|>0，当x>X，就有|f(x)-B|