如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 20:09:29

如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36 、z²+zx+x²=169/4,
求xy+yz+zx值

该题可以进行图形辅助解析
由x²+y²+xy=25/4
x²+z²+xz=169/4
y²+z²+yz=36=144/4
可以看出：144/4+25/4=169/4
这时可以借此联想到余弦定理
过点O做两两夹角为120度的三条线段,设AO=x,  BO=y,  CO=z   (如下图所示,∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°)
在△ABO中由余弦定理可得：AB²=AO²+BO²－2AO*BO*cos∠AOB=x²+y²－xy*2cos120°=x²+y²+xy=25/4
同理在△AOC中由余弦定理可得：AC²=x²+z²+xz=169/4
在△BOC中由余弦定理可得：BC²=y²+z²+yz=36=144/4    分别解出：AB=5/2     AC=13/2     BC=6
由上述三式知：AC²=AB²+BC²    即△ABC是直角三角形
所以S△ABC=AB*BC/2=15/2  …………①
由正余弦定理知 S△AOB=½*AO*BO*sin∠AOB=(√3/4)xy
同理：S△AOC=(√3/4)xz     S△BOC=(√3/4)yz
即S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC=√3（xy+xz+yz）/4  …………②
由①②两式可解得：
xy+xz+yz=10√3     （十倍根号三）

再问：有没有纯代数方法，请解答，谢谢！
再答：没有吧。。我们那时候都是这样做的。。你再等等，看看还有别人回答没有。。

如果三个正实数x y z满足x²+xy+y²=25/4 、y²+yz+z²=36 正实数x，y，z满足9xyz+xy+yz+zx=4，求证：如果实数x,y,z满足x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)=8,用A表示|x-y|,|y-z|,|z-x|中的最已知三个数x,y,z,满足xy/x+y=-2，yz/y+z=4/3,zx/z+x=-4/3,求(xyz)/(xy+yz+ 若实数x,y,z满足x²+y²+z²=1,则xy+yz+zx的取值范围正整数x、y、z满足x&3-y&3-z&3=3xyz,x²=0（y+z）,则xy+yz+xz=（）已知实数x,y,z满足x²-6xy+10y²+4y+|z²-3z+2|+4=0,求(x+y x,y,z属于正实数,则x+3y-z=0,则z²/xy的最小值是正实数x,y,z,满足xy+yz=10,则x^2+5y^2+4z^2的最小值为若实数x,y,z满足x+y+z=5,xy+yz+xz=3,求z的最大值已知x/3=y/4=z/6,求（xy+yz+xz)/（x²+y²+z²）已知x、y、z均为正实数,且xy+yz+xz=4xyz,则x/yz+y/xz+z/xy的最小值为多少?