求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/05 16:25:48
求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.
即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²
即1³+2³+3³+.+n³=(1+2+3+.+n)²
对于任意整数i,有
(1+2+3+.+i)²
= ( (1+2+3+.+(i-1)) + i )²
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2i(1+2+3+.+(i-1)) + i²
因为前n项和公式1+2+3+.+n=n(1+n)/2,代人,继续整理
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+.+(i-1))² + i ³
所以
(1+2+3+.+i)² - (1+2+3+.+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n,列出各个等式,
1² - 0² =1 ³
(1+2)² - (1)² = 2 ³
(1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
............
(1+2+3+.+n)² - (1+2+3+.+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得
(1+2+3+.+n)² - 0² = 1³+2³+3³+.+n³
即
(1+2+3+.+n)² = 1³+2³+3³+.+n³
(1+2+3+.+i)²
= ( (1+2+3+.+(i-1)) + i )²
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2i(1+2+3+.+(i-1)) + i²
因为前n项和公式1+2+3+.+n=n(1+n)/2,代人,继续整理
= (1+2+3+.+(i-1))² + 2 i ( i(i-1)/2 ) + i²
= (1+2+3+.+(i-1))² + i ³
所以
(1+2+3+.+i)² - (1+2+3+.+(i-1))² = i ³
对i依次取1到n,列出各个等式,
1² - 0² =1 ³
(1+2)² - (1)² = 2 ³
(1+2+3)² - (1+2)² = 3 ³
............
(1+2+3+.+n)² - (1+2+3+.+(n-1))² = n ³
各个等式左右两边同时相加,相同项消去,得
(1+2+3+.+n)² - 0² = 1³+2³+3³+.+n³
即
(1+2+3+.+n)² = 1³+2³+3³+.+n³
求证:从一开始的n个连续自然数的立方和等于它们的和的平方.
从一开始的连续自然数的立方和 平方和
连续N个自然数的平方的和等于多少
求100以内的自然数N 使得从一开始的连续N个自然数的立方之和大于3000000
验证自然数n的立方等于n个连续奇数的和的问题
从1开始连续n个自然数的立方和是多少?
求最大的自然数n,使得从1到连续n个自然数的立方和小于50000
求出以内100最大自然数n,使的从1开始连续个自然数的立方和小于20000
证明自然数立方的前N项和等于自然数前N项和的平方
求证3个连续自然数的立方和能被9整除
n个自然数的立方和是多少
从1开始连续n个奇数的和等于n的平方.那么从1开始连续n个偶的和等于多少?