(2014•合肥二模)已知f(x)=mlnx-12x(m∈R),g(x)=2cos2x+sinx+a.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/04 22:25:34
(2014•合肥二模)已知f(x)=mlnx-
1 |
2 |
(I)f′(x)=
m
x−
1
2=
2m−x
2x(x>0).
当m≤0时,f′(x)≤0,此时函数在(0,+∞)单调递减.
当m>0时,由f′(x)=0,解得x=2m.
令f′(x)>0,解得0<x<2m,此时函数f(x)单调递增;令f′(x)<0,解得2m<x,此时函数f(x)单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2m),单调递减区间为(2m,+∞).
(II)对于任意x1∈[
1
e,e],总存在x2∈[0,
π
2],使得f(x1)≤g(x2)成立f(x)max⇔≤g(x)max.
当m=
1
2时,f(x)=
1
2lnx−
1
2x,由(I)可知:当x∈[
1
e,1]时,函数f(x)单调递增;
当x∈[1,e]时,函数f(x)单调递减.
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(x)max=f(1)=-
1
2.
当x∈[0,
π
2]时,sinx∈[0,1].
g(x)=2cos2x+sinx+a=2(1-sin2x)+sinx+a=-2sin2x+sinx+2+a=−2(sinx−
1
4)2+
17
8+a.
∴当sinx=
1
4时,g(x)max=g(
1
4)=a+
17
8.
∴−
1
2≤a+
17
8,解得a≥−
21
8.
∴实数a的取值范围是[−
21
8,+∞).
m
x−
1
2=
2m−x
2x(x>0).
当m≤0时,f′(x)≤0,此时函数在(0,+∞)单调递减.
当m>0时,由f′(x)=0,解得x=2m.
令f′(x)>0,解得0<x<2m,此时函数f(x)单调递增;令f′(x)<0,解得2m<x,此时函数f(x)单调递减.
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,2m),单调递减区间为(2m,+∞).
(II)对于任意x1∈[
1
e,e],总存在x2∈[0,
π
2],使得f(x1)≤g(x2)成立f(x)max⇔≤g(x)max.
当m=
1
2时,f(x)=
1
2lnx−
1
2x,由(I)可知:当x∈[
1
e,1]时,函数f(x)单调递增;
当x∈[1,e]时,函数f(x)单调递减.
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,f(x)max=f(1)=-
1
2.
当x∈[0,
π
2]时,sinx∈[0,1].
g(x)=2cos2x+sinx+a=2(1-sin2x)+sinx+a=-2sin2x+sinx+2+a=−2(sinx−
1
4)2+
17
8+a.
∴当sinx=
1
4时,g(x)max=g(
1
4)=a+
17
8.
∴−
1
2≤a+
17
8,解得a≥−
21
8.
∴实数a的取值范围是[−
21
8,+∞).
(2014•合肥二模)已知f(x)=mlnx-12x(m∈R),g(x)=2cos2x+sinx+a.
(2014•昌平区二模)已知函数f(x)=cos2x+sinx-1,(x∈R).
(2014•大连二模)已知函数f(x)=sin2x+3sinx•cosx+2cos2x(x∈R).在△ABC中,角A,B
已知函数f(x)=mlnx-(x^2)/2(m属于R)满足f'(1)=1.若g(x)=f(x)-[(x平方/2)-3x]
(2014•东莞二模)已知函数f(x)=2sin2x+2cos2x,x∈R.
(2013•绵阳二模)设函数y=f(x)满足:对任意的实数x∈R,有f(sinx)=-cos2x+cos2x+2sinx
(2013•江门一模)已知函数f(x)=2sinx•cosx+2cos2x-1,x∈R.
已知函数f(x)=23sinx•cosx+cos2x-sin2x-1(x∈R)
(2013•昌平区二模)已知函数f(x)=sin(π-2x)+23cos2x,x∈R.
(2013•昌平区二模)已知函数f(x)=3sin(π−2x)-2cos2x+1,x∈R.
已知函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a∈R).
(2014•成都三模)已知函数f(x)=2cos2x+3sin2x,x∈R.