设f(x)是首项系数为1的整系数多项式,f(-1),f(0),f(1)都不能被3整除.证明：f(x)没有有理根

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/20 15:27:04

设f(x)=x^n+an-1x^n-1 +an-2x^n-2 +.+a1x+a0
f(0)=a0
f(1)=偶数次项系数和A + 奇次项系数和B
f(-1)=偶数次项系数和A - 奇次项系数和B
所以A-B、A+B、a0都不是3的倍数
如果有有理根P/Q、（P,Q)=1
则0＝Q^n*f(P/Q)＝P^n+(an-1P^n-1Q) +(an-2P^n-2Q2)+.+a1PQ^n-1+a0Q^n
两边是整数,根据条件,显然P Q都不能是3的倍数所以（P,3)=1, (Q,3)=1
P^2 、Q^2除以3余数都是1.
n是偶数时：
P^n+(an-1P^n-1Q) +(an-2P^n-2Q2)+.+a1PQ^n-1+a0Q^n
除以3余数同：
1+PQan-1 +an-2 +PQan-3+…+PQa1 +a0
=(1+an-2+an-4+…+a0)+PQ(an-1+an-3+……+a1)
除以3余数同A+PQ*B
n是奇数时
P^n+(an-1P^n-1Q) +(an-2P^n-2Q2)+.+a1PQ^n-1+a0Q^n
除以3余数同：
P+Qan-1 +Pan-2 +Qan-3+…+Pa1 +Qa0
=P(1+an-2+an-4+….+a1)+Q(an-1+an-3+…..+a2+a0)
除以3余数同P*B+Q*A
由于P、Q、PQ都不是3的倍数,所以P、Q、PQ除以3的余数是1或者-1
所以Q^n*f(P/Q)除以3余数与 {±（A±B）} 相同,但都不是3的倍数,
与Q^n*f(P/Q) ＝0相矛盾.
所以不存在有理根.

设f(x)是首项系数为1的整系数多项式,f(-1),f(0),f(1)都不能被3整除.证明：f(x)没有有理根证明：若p/q是整系数多项式f(x)的有理根,其中p,q互素,则（p-q)|f(1). 高等代数题（多项式）证明:设 f(x)是整系数多项式,且 f(1)=f(2)=f(3)=p,,则不存在整数m,使 f(m 整系数多项式f(x)满足f(2009)f(2010)=2011,请您证明f(x)=0没有整数根 f(x)是一个整系数多项式,若f(0),f(1)都是奇数,求证f(x)不可能有整数根 f,h为有理系数多项式；f,h有公共根；h在有理域上不可约.证明：f|h. 已知二次函数f(x)对任意x∈R,都有f(1-x)=f(1+x)成立.设f(x)二次项系数为m(m≠0),当x∈[0,Π 已知二次函数f（x）的二次项系数为负，对任意实数x都有f（2-x）=f（2+x），问当f（1-2x2）与f（1+2x-x 已知二次函数f(x)的二次项系数为负,对任意实数x都有f(2-x)=f(2+x),问当f(1-2x^2)与f(1+2x- 二次函数f(x)的二次项系数为正,且对任何x恒有f(x+2)=f(2-x).若f(1-2x) 设f(x)=sinП /6x,f(1)+f(2)+f(3)+`````+f(2006)的值为( ) 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,证明f(2)+f(1)=0