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已知f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1-x2.

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/06 06:22:42
已知f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1-x2
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象.
(3)若函数f(x)在区间[a,a+1]上单调,直接写出实数a的取值范围.(不必写出演算过程)
已知f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=1-x2.
(1)1°因为函数是奇函数,所以x=0时,f(0)=0--------------(2分)
2°设x<0,则-x>0,根据当x>0时,f(x)=1-x2,得f(-x)=1-(-x)2=1-x2
∵f(x)为定义在R上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)=x2-1----------(4分)
综上:f(x)=

1−x2,x>0
0   ,x=0
x2−1,x<0 −−−−−−−−−−−−5分
(2)当x>0时,函数图象为开口向下抛物线的右侧,当x<0时,函数图象为开口向上抛物线的左侧,
并且f(0)=0,由此可得函数图象如右图------------------(10分)
(3)根据(2)的函数图象,可得当[a,a+1]⊊(-∞,0)时,函数函数f(x)在区间[a,a+1]上是减函数;
当[a,a+1]⊊(0,+∞)时,函数f(x)在区间[a,a+1]上是增函数.
解之得:a<-1或a>0----------(15分)