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求线性方程组的全部解x1+x2-3x4-x5=2x1-x2+2x3-x4=14x1-2x2+6x3+3x4-4x5=82

来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 22:46:10
求线性方程组的全部解
x1+x2-3x4-x5=2
x1-x2+2x3-x4=1
4x1-2x2+6x3+3x4-4x5=8
2x1+4x2-2x3+4x4-7x5=9
求线性方程组的全部解x1+x2-3x4-x5=2x1-x2+2x3-x4=14x1-2x2+6x3+3x4-4x5=82
写出此方程组的增广矩阵,用初等行变换来解
1 1 0 -3 -1 2
1 -1 2 -1 0 1
4 -2 6 3 -4 8
2 4 -2 4 -7 9 第2行减去第1行,第3行减去第1行×4,第4行减去第1行×2
1 1 0 -3 -1 2
0 -2 2 2 1 -1
0 -6 6 15 0 0
0 2 -2 10 -5 5 第3行减去第2行×3,第4行加上第2行,第2行除以-2
1 1 0 -3 -1 2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 9 -3 3
0 0 0 12 -4 4 第1行减去第2行,第4行减去第3行×4/3,第3行除以9
1 0 1 -2 -1/2 3/2
0 1 -1 -1 -1/2 1/2
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0 第1行加上第3行×2,第2行加上第3行
1 0 1 0 -7/6 13/6
0 1 -1 0 -5/6 5/6
0 0 0 1 -1/3 1/3
0 0 0 0 0 0
显然x1=1,x2=0,x3=0,x4=0,x5= -1为方程的特解,
矩阵的秩为3,所以有5-3=2个解向量
取x3和x5为自由变量,得到对应齐次方程组通解为
c1*(-1,1,1,0,0)^T + c2*(7/6,5/6,0,1/3,1)^T c1、c2为常数
所以此非齐次线性方程组的通解为:
c1*(-1,1,1,0,0)^T + c2*(7/6,5/6,0,1/3,1)^T+(1,0,0,0,-1)^T c1、c2为常数