大师作文网椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点,若AB=2√2,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2,求椭圆
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/23 18:20:48
椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点,若AB=2√2,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2,求椭圆的方程
如题
如题
设A点坐标(x1,y1),B点坐标(x2,y2)
将x+y=1代入mx²+ny²=1,得(m+n)x²-2nx+n-1=0,(易知m,n＞0)
根据韦达定理有
x1+x2=2n/(m+n),x1x2=(n-1)/(m+n)
故y1+y2=2-(x1+x2)=2m/(m+n)
AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(x1-x2)²+(1-x1-1+x2)²]
=√[2(x1-x2)²]=√{2[(x1+x2)²-4x1x2]}
=√{2[4n²/(m+n)²-4(n-1)/(m+n)]}
=√[8(m-mn+n)/(m+n)²]=2√2
变形得m-mn+n=(m+n)²
C点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
故[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)=m/n=√2/2
即m=(√2/2)n,代入m-mn+n=(m+n)²得
(√2/2)n-(√2/2)n²+n=[(√2/2)n+n]²
(√2+2)(√2-1)=3n
n=√2/3
m=1/3
故椭圆方程为(1/3)x²+(√2/3)y²=1
将x+y=1代入mx²+ny²=1,得(m+n)x²-2nx+n-1=0,(易知m,n＞0)
根据韦达定理有
x1+x2=2n/(m+n),x1x2=(n-1)/(m+n)
故y1+y2=2-(x1+x2)=2m/(m+n)
AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(x1-x2)²+(1-x1-1+x2)²]
=√[2(x1-x2)²]=√{2[(x1+x2)²-4x1x2]}
=√{2[4n²/(m+n)²-4(n-1)/(m+n)]}
=√[8(m-mn+n)/(m+n)²]=2√2
变形得m-mn+n=(m+n)²
C点坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
故[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=(y1+y2)/(x1+x2)=m/n=√2/2
即m=(√2/2)n,代入m-mn+n=(m+n)²得
(√2/2)n-(√2/2)n²+n=[(√2/2)n+n]²
(√2+2)(√2-1)=3n
n=√2/3
m=1/3
故椭圆方程为(1/3)x²+(√2/3)y²=1
椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1交于A、B两点,若AB=2√2,AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2,求椭圆
椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1相交于AB两点,若|AB|=2√2且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为√2/2
已知椭圆ax^2+by^2=1与直线x+y=1交于AB两点且绝对值AB中点M与椭圆中心O是连线为斜率=根号2/2,求椭圆
已知椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A,B两点,M是AB的中点,且AB中点M与原点连线的斜率为√2/2,且OA
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A,B两点,M为AB中点,OM斜率为0.25,椭圆的短轴长为2
椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点,原点与线段MN中点的连线斜率为二分之根号二,则m/n的值是多少?
椭圆ax+by=1(a>0,b>0)与直线x+y=1交于AB两点,M为AB中点,直线OM的斜率为2,OA⊥OB,求椭圆方
椭圆ax^2+bx^2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为根号3/2,求椭圆的离心率.
若椭圆mx^2+ny^2=1与直线x+y-1=0交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线斜率为√2/2,求n/m的值
中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆与直线x+y=3交于两点,AB=2根号2,OC斜率为2,c为AB中点,求椭圆方程.
若斜率为1直线l与椭圆x^2/4+y^2=1相交于A B两点,求AB的中点的轨迹方程.
已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆与直线x+y=1相交于A,B两点,且AB=2√2,连结AB的中点与原点的直线斜率为√