求中值定理证明的几种构造函数的方法

求中值定理证明的几种构造函数的方法
如题

1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数,主要思想分为四点1)将要证的结论中的 换成 ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号）,并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零,另一边即为所求辅助函数 .例1:证明柯西中值定理.分析:在柯西中值定理的结论 中令 ,得 ,先变形为 再两边同时积分得 ,令 ,有故 为所求辅助函数.例2:若 ,,,…,是使得 的实数.证明方程 在（0,1）内至少有一实根.证:由于 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系,所以设 （取）,则 1） 在[0,1]上连续 2） 在（0,1）内可导 3） =0,故 满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,存在 使 ,即 亦即 .这说明方程 在（0,1）内至少有实根 .2 积分法 对一些不易凑出原函数的问题,可用积分法找相应的辅助函数.例3:设在[1,2]上连续,在（1,2）内可导,,.证明存在 使 .分析:结论变形为 ,不易凑成 .我们将 换为 ,结论变形为 ,积分得:,即 ,从而可设辅助函数为 ,有 .本题获证.例4:设函数 ,在 上连续,在 内可微,.证明存在 ,使得:.证:将 变形为 ,将 换为 ,则 ,两边关于 积分,得:,所以 ,其中 ,由 可得 .由上面积分的推导可知,为一常数 ,故其导数必为零,从整个变形过程知,满足这样结论的 的存在是不成问题的.因而令 ,易验证其满足罗尔定理的条件,原题得证.3 几何直观法 此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系,从而建立适当的辅助函数.例5:证明拉格朗日中值定理.分析:通过弦 两个端点的直线方程为 ,则函数 与直线AB的方程之差即函数 在两个端点处的函数值均为零,从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.例6:若在 上连续且 .试证在 内至少有一点 ,使 .分析:由图可看出,此题的几何意义是说,连续函数 的图形曲线必跨越 这一条直线,而两者的交点的横坐标 ,恰满足 .进而还可由图知道,对 上的同一自变量值 ,这两条曲线纵坐标之差 构成一个新的函数 ,它满足 0,因而符合介值定理的条件.当为 的一个零点时,恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点:1） 将结论变形,使常数部分分离出来并令为 .2） 恒等变形使等式一端为 及 构成的代数式,另一端为 及 构成的代数式.3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是,则把其中一个端点设为 ,相应的函数值改为 .4）端点换变量 的表达式即为辅助函数 .例7:设在 上连续,在 内可导,,试证存在一点 ,使等式 成立.分析:将结论变形为 ,令 ,则有 ,令 ,可得辅助函数 .例8:设在 上存在,在 ,试证明存在 ,使得 .分析:令 ,于是有 ,上式为关于 ,三点的轮换对称式,令（or:,or:）,则得辅助函数 .5 分析法 分析法又叫倒推法,就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.例9:设函数 在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,证明在（0,1）内存在一点 ,使得 .分析:所要证的结论可变形为:,即 ,因此可构造函数 ,则对 与在[0,1]上应用柯西中值定理即可得到证明.例10:设函数 在[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且 =0,对任意 有 .证明存在一点 使（ 为自然数）成立.分析:欲证其成立,只需证 由于对任意 有 ,故只需证:即 ,于是引入辅助函数 （ 为自然数）.例11:设函数 在区间［0,+ ］上可导,且有 个不同零点:.试证 在[0,+ ]内至少有 个不同零点.（其中,为任意实数） 证明:欲证 在[0,+ ）内至少有 个不同零点,只需证方程 =0在[0,+ ]内至少有 个不同实根.因为,,,故只需证方程 在 内至少有 个不同实根.引入辅助函数 ,易验证 在区间[ ],[ ],…,[ ]上满足罗尔定理的条件,所以,分别在这 个区间上应用罗尔定理,得 ,其中 且 以上说明方程 在[ ] [ ] … [ ] [0,+ ]内至少有 个不同实根,从而证明了方程 =0在[0,+ ]内至少有 个不同实根.6 待定系数法 在用待定系数法时,一般选取所证等式中含 的部分为 ,再将等式中一个端点的值 换成变量 ,使其成为函数关系,等式两端做差构造辅助函数 ,这样首先可以保证 =0,而由等式关系 =0自然满足,从而保证 满足罗尔定理条件,再应用罗尔定理最终得到待定常数 与 之间的关系.例12:设是 上的正值可微函数,试证存在 ,使 .证明:设 ,令 容易验证 在 上满足罗尔定理条件,由罗尔定理,存在 使 ,解得 ,故 .例13:设函数 在 上连续,在 内可导,则在 内至少存在一点 使 .证明:将所证等式看作 ,设 ,令 ,则 满足罗尔定理条件,由罗尔定理得,存在一点 ,使 ,即 ,若 =0,则 ,结论成立；若 ,则 ,从而有 .例14:设 ,则存在 使 .分析:对于此题设 作函数 .应用罗尔定理可得存在 ,使 ,即 ,从而 ,这样并不能证明原结论,遇到这种情况,说明所作的辅助函数不合适,则需要将所证明的等式变形,重新构造辅助函数.证明:将所证等式变形为 ,设 ,令 ,则 满足罗尔定理条件,用罗尔定理可得存在 ,使 ,即 ,于是 ,故 .总之,证明微分中值命题的技巧在于:一是要仔细观察,适当变换待证式子；二是要认真分析,巧妙构造辅助函数.抓住这两点,即可顺利完成证明.