一道证明线性相关的题,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/24 07:16:19

一道证明线性相关的题,
设a1,a2,...,an均可由b1,b2,...bm线性表示,证明若n>m,则a1,a2,...an必定线性相关.
麻烦务必写出过程.

以下证明中因书写不方便,向量没有明确标出,不过应该能看明白吧^_^
证明：
要证明a1,a2,...,an线性相关,只要证明关于x1,x2,...xn的方程
x1a1+x2a2+...xnan=0.（1）
有非零解.
由已知
设
ai=ai1b1+ai2b2+...+ainbm,i=1,2,...,n.(2)
把（2）带入（1）整理,得
（a11x1+a21x2+...+an1xn）b1+(a12x1+a22x2+...+an2x2)b2+...+
(a1nx1+a2nx2+...+anmxn)bn=0.(3)
因为齐次线性方程组
a11x1+a21x2+...+an1xn=0,
a12x1+a22x2+...+an2x2=0,
.
.
.
a1nx1+a2nx2+...+anmxn=0
的未知量个数n大于方程个数m,故方程组由非零解
x1
x2
.
.
.
xn
显然,这个解也满足（3）,从而满足（1）.也即,（1）有非零解
所以a1,a2,...an必定线性相关.
命题得证

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