大师作文网用展开泰勒公式证明不等式
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 08:22:24
用展开泰勒公式证明不等式
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足f(x)的绝对值≤a,f''(x)的绝对值≤b,其中a>=0,b>=0.证明对于任意x∈(0,1),有f'(x)的绝对值≤2a+b/2
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足f(x)的绝对值≤a,f''(x)的绝对值≤b,其中a>=0,b>=0.证明对于任意x∈(0,1),有f'(x)的绝对值≤2a+b/2
f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+1/2*f''(x0)(1-x)^2 ,x0介于1和x之间
f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+1/2*f''(x1)(0-x)^2 ,x1介于0和x之间
所以f(1)-f(0)=f'(x)+1/2*f''(x0)(1-x)^2-1/2*f''(x1) x^2
所以|f'（x）|≤|f(1)|+|f(0)|+1/2*|f''(x1)|x^2+1/2*|f''(x0)|(1-x)^2≤2a+b/2[x^2+(1-x)^2]≤2a+b/2
f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+1/2*f''(x1)(0-x)^2 ,x1介于0和x之间
所以f(1)-f(0)=f'(x)+1/2*f''(x0)(1-x)^2-1/2*f''(x1) x^2
所以|f'（x）|≤|f(1)|+|f(0)|+1/2*|f''(x1)|x^2+1/2*|f''(x0)|(1-x)^2≤2a+b/2[x^2+(1-x)^2]≤2a+b/2