大师作文网概率论的中心极限定理是怎么证明的?书上直接给出结论没有过程.
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/15 17:10:14
概率论的中心极限定理是怎么证明的?书上直接给出结论没有过程.
用特征函数来证明.
设ξi为独立同分布的随机变量,m为ξ的期望,σ为ξ的标准差.ηn=∑(ξi-m)/(σ*sqrt(n)).(从1连加到n)
证明：ξ-m的特征函数为f(t),则ηn的特征函数为 [f(t/(σ*sqrt(n)))]^n
当n足够大,t/(σ*sqrt(n))则充分接近于0,则可以在0点附近将f(t/(σ*sqrt(n)))泰勒展开.
f(t/(σ*sqrt(n)))=f(0)+f'(0)*(t/(σ*sqrt(n)))+f''(0)*t^2/(2*σ^2*n)+o(t^2/(σ^2*n))
对于f(t),易知f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=-σ^2,所以代入上式,得
f(t/(σ*sqrt(n)))=1-t^2/(2n)+o(t^2/(n*σ^2))
然后令n→∞,有 [f(t/(σ*sqrt(n)))]^n=[ 1-t^2/(2n)+o(t^2/(n*σ^2)) ]^n→exp(-t^2/2)
即ηn的特征函数收敛于标准正态分布的特征函数,所以由逆极限定理,
ηn的分布函数弱收敛于标准正态正态分布的分布函数.证完.
设ξi为独立同分布的随机变量,m为ξ的期望,σ为ξ的标准差.ηn=∑(ξi-m)/(σ*sqrt(n)).(从1连加到n)
证明：ξ-m的特征函数为f(t),则ηn的特征函数为 [f(t/(σ*sqrt(n)))]^n
当n足够大,t/(σ*sqrt(n))则充分接近于0,则可以在0点附近将f(t/(σ*sqrt(n)))泰勒展开.
f(t/(σ*sqrt(n)))=f(0)+f'(0)*(t/(σ*sqrt(n)))+f''(0)*t^2/(2*σ^2*n)+o(t^2/(σ^2*n))
对于f(t),易知f(0)=1,f'(0)=0,f''(0)=-σ^2,所以代入上式,得
f(t/(σ*sqrt(n)))=1-t^2/(2n)+o(t^2/(n*σ^2))
然后令n→∞,有 [f(t/(σ*sqrt(n)))]^n=[ 1-t^2/(2n)+o(t^2/(n*σ^2)) ]^n→exp(-t^2/2)
即ηn的特征函数收敛于标准正态分布的特征函数,所以由逆极限定理,
ηn的分布函数弱收敛于标准正态正态分布的分布函数.证完.