在平面直角坐标系xOy中,已知A（0,-1）,B点在直线y=-3上,M点满足MB（向量）平行于OA（向量）,

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/30 21:24:19

在平面直角坐标系xOy中,已知A（0,-1）,B点在直线y=-3上,M点满足MB（向量）平行于OA（向量）,
MA（向量）乘AB（向量）=MB（向量）乘BA（向量）,M点的轨迹为曲线.
1.求C的方程.
2.P为C上的动点,∫为C在P点处的切线,求O点到∫距离的最小值.
第二问可以这样做吗：我求出C的方程为y=四分之一X的平方-2,这是一个抛物线,对称轴为X=0,那切线在最低点时到O点距离为最小值,直接求出最低点坐标就行了,我做的结果和答案也一样,可是不知道思路对不对,那位高人解答一下,谢谢

（1）设B(x,-3),M(x,y),又知,向量MA*向量AB=向量MB*向量BA
可得(-x,-1-y)(x,-2)=(0,-3-y)(-x,2)
可得,-x^2+2+2y=-6-2y
可得,y=(1/4)x^2-2,即C的方程
（2）设P为(x0,(1/4)x0^2-2),对y进行求导得,y`=(1/2)x,所以在点x0处的切线斜率为(1/2)x0,所以可得P的切线方程为y-(1/4)x0^2+2=(1/2)x0(x-x0),即(1/2)x0x-y-(1/4)x0^2-2=0,
根据点到直线距离公式得d=|(1/4)x0^2+2|/[根号((1/4)x0^2+1)]=|(1/4)x0^2+1+1|/[根号((1/4)x0^2+1)]=[根号((1/4)x0^2+1)]+1/[根号((1/4)x0^2+1)]>=2（这是根据基本不等式得出来的）,当且仅当[根号((1/4)x0^2+1)]=1/[根号((1/4)x0^2+1)],即x=0时等号成立,且符合题意.所以d的最小值为2