（2010•顺义区二模）已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC=

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：综合作业时间：2024/09/20 19:39:54

（2010•顺义区二模）已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC=60°，BC、PD的中点分别为E、F．
（Ⅰ）求证BC⊥PE；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得AF||平面PCG？若存在指出G在AB上位置并给以证明，若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）证明：
方法一：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC
连接AE∵底面ABCD是菱形∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形，
又E时BC的中点∴BC⊥AE
而PA∩AE=ABC⊥平面PAE∴BC⊥PE
方法二：以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
用向量方法证明

BC•

PE＝0，
从而得出BC⊥PE也可以
（Ⅱ）由Ⅰ知AE、AD、AP彼此两两垂直，故以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
∵PA=AB=2∴A（0，0，0），B(
3，−1，0)，C(
3，1，0)，
D（0，2，0），E(
3，0，0)，F（0，1，1），P（0，0，2）
∴

AF＝(0，1，1)，

CF＝(−
3，0，1)
设平面FAC的法向量为

u＝(x，y，z)，
则

u•

AF＝0

u•

CF＝0求得

u＝(
3，−3，3)
平面ACD的法向量为

v＝(0，0，2)，
设二面角F-AC-D的平面角为θ，
则cosθ＝
|

u•

v|
|

u|•|

v|＝

21
7
即二面角F-AC-D的余弦值为

21
7
（Ⅲ）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG
方法1：设PC的中点为H，连接FH，
易证四边形AGHF为平行四边形，
∴AF∥GH又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC∴AF∥平面PGC
方法2：假设在线段AB上存在点G，使得AF∥平面PCG，
则

AG＝λ

AB（0≤λ＜1），∵

AB＝(
3，−1，0)，
∴

AG＝λ

AB＝(
3λ，−λ，0)，
∵

PA＝(0，0，−2)，
∴

PG＝

PA+

AG＝(
3λ，−λ，−2)
设平面PGC的法向量为

n＝(x，y，z)，
由

n•

PG＝0

n•

PC＝0得

n＝(
λ+1

3(λ−1)，1，
λ
λ−1)
∵

AF＝(0，1，1)，且

AF•

n＝0，解得λ＝
1
2
故在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．

（2010•顺义区二模）已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC= 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中已知四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形pa⊥平面abcd,∠abc=60度,e,f分别是bc,pc的中点如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，E在PD上，且P （2012•枣庄二模）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,AB=PA=2,E、F分别为BC、P 如图,四棱锥P-ABCD的底面为菱形且∠ABC=120°,PA⊥底面ABCD,AB=2,PA=√3 已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E为BC中点,求证:AE⊥PD. 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点（2013•兰州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（2013•兰州一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60° （2014•洛阳一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=