(2014•河南二模)已知函数f(x)=(ax+1)ln(x+1)-x.
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/09 02:29:40
(2014•河南二模)已知函数f(x)=(ax+1)ln(x+1)-x.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>0时
−
<
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)求证:当x>0时
1 |
ln(x+1) |
1 |
x |
1 |
2 |
(1)当a=1时,f(x)=(x+1)ln(x+1)-x,则f′(x)=ln(x+1)
令f′(x)>0,可得x>0,令f′(x)<0,可得-1<x<0,
∴函数的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-1,0);
(2)证明:当x>0时,欲证
1
ln(x+1)−
1
x<
1
2恒成立,只需证明当x>0时,ln(x+1)>
2x
x+2
构造函数g(x)=ln(x+1)−
2x
x+2,则g′(x)=
1
x+1−
4
(x+2)2=
x2
(x+1)(x+2)2>0
∴g(x)=ln(x+1)−
2x
x+2在(0,+∞)上单调递增
∴g(x)>g(0)=0
∴当x>0时,ln(x+1)>
2x
x+2
∴当x>0时,
1
ln(x+1)−
1
x<
1
2恒成立;
(3)(1+
1
n)n+a≥e等价于(n+a)ln(1+
1
n)≥1
∴a≥
1
ln(1+
1
n)−n
∵当x>0时,
1
ln(x+1)−
1
x<
1
2恒成立,∴
1
ln(1+
1
n)−n<
1
2
∴a≥
1
2
∴常数a的最小值为
1
2.
令f′(x)>0,可得x>0,令f′(x)<0,可得-1<x<0,
∴函数的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-1,0);
(2)证明:当x>0时,欲证
1
ln(x+1)−
1
x<
1
2恒成立,只需证明当x>0时,ln(x+1)>
2x
x+2
构造函数g(x)=ln(x+1)−
2x
x+2,则g′(x)=
1
x+1−
4
(x+2)2=
x2
(x+1)(x+2)2>0
∴g(x)=ln(x+1)−
2x
x+2在(0,+∞)上单调递增
∴g(x)>g(0)=0
∴当x>0时,ln(x+1)>
2x
x+2
∴当x>0时,
1
ln(x+1)−
1
x<
1
2恒成立;
(3)(1+
1
n)n+a≥e等价于(n+a)ln(1+
1
n)≥1
∴a≥
1
ln(1+
1
n)−n
∵当x>0时,
1
ln(x+1)−
1
x<
1
2恒成立,∴
1
ln(1+
1
n)−n<
1
2
∴a≥
1
2
∴常数a的最小值为
1
2.
(2014•河南二模)已知函数f(x)=(ax+1)ln(x+1)-x.
已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),(a不等于0且为R) 1.求函数f(x
已知函数f(x)=x-1/2ax^-ln(x+1)
已知函数f(x)=ln(x+1)-x+ax²
已知函数f(x)=ln(x+1)-ax^2-x
已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1) - ln(ax) + ln(x+1),(a不等于0且为R)
已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).
已知函数f(x)=ln(x+1),
已知函数f(x)=ln(ax+1)+x^2-ax,a>0 讨论单调区间
已知函数f(x)=ln(2-x)+ax.
已知函数f(x)=x^2-2x+ln[(1-x)/(1+x)]
已知函数f(x)=ln(ax)/(x+1)+ln(x+1)-ln(ax)(a不等0,a属于R) (1)求函数f(x)的定