大师作文网函数 (25 9:21:4)
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/25 14:37:11
函数 (25 9:21:4)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c及一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c∈R,a>b>c,a+b+c=0
1）求证：f(x)-g(x)有两个不同的零点
2）当f(x)-g(x)的两个零点在x轴的对应点为A,B时,试求|AB|的取值范围
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c及一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c∈R,a>b>c,a+b+c=0
1）求证：f(x)-g(x)有两个不同的零点
2）当f(x)-g(x)的两个零点在x轴的对应点为A,B时,试求|AB|的取值范围
1、f(x)-g(x)=ax2+2bx+c=
Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c)2-ac]
∵a+b+c=0,a＞b＞c,∴a＞0,c＜0
∴-ac＞0,
∴Δ＞0,
即f(x)-g(x)有两个不同的零点
2、设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=-2b/a ,x1x2=c/a .
|AB|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4[(c/a+1/2)^2+3/4]
∵a＞b＞c,a+b+c=0,a＞0,c＜0
∴a＞-a-c＞c,
解得c/a∈(-2,-1/2)
∵f(c/a)=4[(c/a+1/2)^2+3/4]的对称轴方程是c/a=-1/2
c/a∈(-2,-1/2)时,为减函数
∴|AB|^2∈(3,12),
∴|AB|∈(√3,2√3 )
Δ=4b2-4ac=4(-a-c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+c)2-ac]
∵a+b+c=0,a＞b＞c,∴a＞0,c＜0
∴-ac＞0,
∴Δ＞0,
即f(x)-g(x)有两个不同的零点
2、设方程ax2+2bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=-2b/a ,x1x2=c/a .
|AB|^2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4[(c/a+1/2)^2+3/4]
∵a＞b＞c,a+b+c=0,a＞0,c＜0
∴a＞-a-c＞c,
解得c/a∈(-2,-1/2)
∵f(c/a)=4[(c/a+1/2)^2+3/4]的对称轴方程是c/a=-1/2
c/a∈(-2,-1/2)时,为减函数
∴|AB|^2∈(3,12),
∴|AB|∈(√3,2√3 )