证明函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)是增函数.请问是不是要分几类讨论啊?
来源:学生作业帮 编辑:大师作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/21 05:43:59
证明函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)是增函数.请问是不是要分几类讨论啊?
既然是高一,不能使用导数,应该利用定义
在(-∞,+∞)上任取x1,x2
设x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
=(x1-x2)*[(x1+x2/2)²+3x2²/4]
∵x1>x2
∴x1-x2>0
而(x1+x2/2)²+3x2²/4≥0
假设等号成立
则x1+x2/2=0,x2=0
则x1=x2=0
与x1>x2矛盾,
∴x1²+x1x2+x2²>0
∴(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)>0
即 f(x1)-f(x2)>0
即x1>x2时f(x1)>f(x2)
∴ 函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)是增函数
在(-∞,+∞)上任取x1,x2
设x1>x2
f(x1)-f(x2)
=x1³-x2³
=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)
=(x1-x2)*[(x1+x2/2)²+3x2²/4]
∵x1>x2
∴x1-x2>0
而(x1+x2/2)²+3x2²/4≥0
假设等号成立
则x1+x2/2=0,x2=0
则x1=x2=0
与x1>x2矛盾,
∴x1²+x1x2+x2²>0
∴(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)>0
即 f(x1)-f(x2)>0
即x1>x2时f(x1)>f(x2)
∴ 函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)是增函数
证明函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)是增函数.请问是不是要分几类讨论啊?
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