大师作文网一道高考数列题,请高手们回答
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/18 19:23:11
一道高考数列题,请高手们回答
已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)
若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.
算出an=1-1/3^n
λ最小值=2
答案中写的：
a[n]=1-1/3^n
∵a[1]a[2]a[3]…a[n]
=(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)
∴先用数学归纳法证明：
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)≥(1+1/3^n)/2
请问这一步怎么想到的?有没有什么通法?
已知数列｛an｝中,a1=2/3,a2=8/9,当n≥2时,3a(n+1)=4an-a(n-1),(n∈N*)
若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,求λ的最小值.
算出an=1-1/3^n
λ最小值=2
答案中写的：
a[n]=1-1/3^n
∵a[1]a[2]a[3]…a[n]
=(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)
∴先用数学归纳法证明：
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)≥(1+1/3^n)/2
请问这一步怎么想到的?有没有什么通法?
λa1a2a3…an≥1（λ∈N*)均成立,应该可以想到分离变量,即
λ≥1/[a1a2a3…an], 求出右边的最大值即可,等价于求a1a2a3…an的最小值.
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)》1-1/3-1/3^2-.-1/3^n=(1+1/3^n)/2
用数学归纳法,以及适当的放缩,容易证明左边的不等式.
因为λ∈N*,所以 λ最小值=2
λ≥1/[a1a2a3…an], 求出右边的最大值即可,等价于求a1a2a3…an的最小值.
(1-1/3)(1-1/3^2)(1-1/3^3)...(1-1/3^n)》1-1/3-1/3^2-.-1/3^n=(1+1/3^n)/2
用数学归纳法,以及适当的放缩,容易证明左边的不等式.
因为λ∈N*,所以 λ最小值=2