对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 23:30:06

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．
（1）求数列{a_n}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{a_n}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．

（I）因为a_n=2n，则有a_n+1=a_n+2，n∈N^*
故数列{a_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为b_n=3•2ⁿ，则有b_n+1=2b_nn∈N^*
故数列{b_n}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（II）（1）因为a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*）
则有a₂+a₃=3t•2²，a₄+a₅=3t•2⁴，a₂₀₀₆+a₂₀₀₇=3t•2²⁰⁰⁶，a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=3t•2²⁰⁰⁸．
故数列{a_n}前2009项的和S₂₀₀₉=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）++（a₂₀₀₆+a₂₀₀₇）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）+（a₂₀₀₈+a₂₀₀₉）=2+3t•2²+3t•2⁴++3t•2²⁰⁰⁶+3t•2²⁰⁰⁸=2+t（2²⁰¹⁰-4）
故答案为2+t（2²⁰¹⁰-4）
（2）若数列{a_n}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得a_n+1=pa_n+q对于任意n∈N^*都成立，
且有a_n+2=pa_n+1+q对于任意n∈N^*都成立，
因此（a_n+1+a_n+2）=p（a_n+a_n+1）+2q对于任意n∈N^*都成立，
而a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），且a_n+1+a_n+2=3t•2ⁿ⁺¹（n∈N^*）
则有3t•2ⁿ⁺¹=3t•p2ⁿ+2q对于任意n∈N^*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，a_n+1=2a_n，a_n=2ⁿ，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，a_n+1=-a_n，a_n=2（-1）^n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{a_n}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或-1，0．

对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数（2010•宿州三模）对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q，使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立，我们称已知数列{cn},其中cn=2^n+3^n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p 已知数列{cn}，其中cn=2n+3n，且数列{cn+1-pcn}为等比数列，则常数p=（　　）定义“等积数列”：在一个数列﹛An﹜中,如果An·An-1=q（q为非零常数）,对于任意的正整数n ≥2都成立,则称数列已知数列CN,其中C=（2的n次方 + 3的n次方）且数列{C(n+1)-P*CN}是等比,求常数P 对于数列{an}，如果存在最小的一个常数T（T∈N*），使得对任意的正整数恒有an+T=an成立，则称数列{an}是周期在数列中,如果存在非零常数T,使得a(n+t)=an对于一切n∈N*都成立已知数列|Cn|,其中Cn=2^n+3^n,(1)数列|Cn|是否为等比数列?试证明数列极限数列极限设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε （不论它多么小）,总存在正整数N,使得当n>N时, 数列极限定义数列如果存在常数a,对于任意的给定的正数ε,总存在正整数N,使得n>N时,不等式 │Xn-a │N?完全没有已知数列an,bn,cn满足[a(n+1)-an][b(n+1)-bn]=cn