1.已知函数f(x)=x^2+ax+b-3(x∈R)的图象恒过点(2,0),则a^2+b^2的最小值为?

来源：学生作业帮编辑：大师作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 14:10:41

1.已知函数f(x)=x^2+ax+b-3(x∈R)的图象恒过点(2,0),则a^2+b^2的最小值为?
2.已知a,b为常数,且a≠0,f(x)=ax^2+bx,且f(2)=0,方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若F(x)=f(x)-f(-x),试判断F(x)的奇偶性,并证明你的结论.

第一题
因函数恒过定点（2,0）
则有
0 ＝ 4 ＋2a＋b－3
即 2a+b +1=0
说明点(a,b)在直线 2x+y+1 = 0 上
则
a^2+b^2的最小值即为点(a,b)到直线 2x+y+1 = 0的距离的平方.
所以由点到直线距离公式有,(a^2+b^2)min = (1/√5)^2 = 1/5
解法2 ：
因 -b =2a+1
所以 a^2+b^2 = 5a^2 +4a +1 = 5(a+2/5)^2 +1/5
当 a=-2/5 时 a^2+b^2取最小值为 1/5
第二题
因f(2)=0
则 4a+2b = 0
即 2a+b =0
又方程f(x)=x有等根.
则 △ = b^2 -4ac = (b-1)^2 =0
解得 b = 1
所以 a=-1/2
则解析式为
f(x)=(-1/2)x^2 +x
因
F(x) = f(x)-f(-x) =(-1/2)x^2 +x - [(-1/2)x^2 -x]
= 2x
因 F(-x) = -2x = -F(x)
所以F(x)为奇函数.

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