大师作文网初中数学动点体
来源：学生作业帮 编辑：大师作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 05:15:23
初中数学动点体
动点问题专题训练
1、（09包头）如图,已知 中, 厘米, 厘米,点 为 的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后, 与 是否全等,请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使 与 全等?
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿 三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在 的哪条边上相遇?
（1）①∵ 秒,
∴ 厘米,
∵ 厘米,点 为 的中点,
∴ 厘米．
又∵ 厘米,
∴ 厘米,
∴ ．
又∵ ,
∴ ,
∴ ．（4分）
②∵ , ∴ ,
又∵ , ,则 ,
∴点 ,点 运动的时间 秒,
∴ 厘米/秒．（7分）
（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇,
由题意,得 ,
解得 秒．
∴点 共运动了 厘米．
∵ ,
∴点 、点 在 边上相遇,
∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇．（12分）
2、（09齐齐哈尔）直线 与坐标轴分别交于 两点,动点 同时从 点出发,同时到达 点,运动停止．点 沿线段 运动,速度为每秒1个单位长度,点 沿路线 → → 运动．
（1）直接写出 两点的坐标；
（2）设点 的运动时间为 秒, 的面积为 ,求出 与 之间的函数关系式；
（3）当 时,求出点 的坐标,并直接写出以点 为顶点的平行四边形的第四个顶点 的坐标．
解（1）A（8,0）B（0,6）1分
（2）
点 由 到 的时间是 （秒）
点 的速度是 （单位/秒）1分
当 在线段 上运动（或0 ）时,
1分
当 在线段 上运动（或 ）时, ,
如图,作 于点 ,由 ,得 ,1分
1分
（自变量取值范围写对给1分,否则不给分．）
（3） 1分
3分
3（09深圳）如图,在平面直角坐标系中,直线l：y=－2x－8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P（0,k）是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
（1）连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由；
（2）当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4,0）,
与y轴交于B（0,－8）,
∴OA=4,OB=8.
由题意,OP=－k,
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
∴k=－3,∴OP等于⊙P的半径,
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE= CD= ,PD=3,
∴PE= .
∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE,
∴△AOB∽△PEB,
∴ ,
∴
∴ ,
∴ ,
∴ .
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－ －8),
∴k=－ －8,
∴当k= －8或k=－ －8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4（09哈尔滨） 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为（－3,4）,
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S（S≠0）,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
5（09河北）在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值．若不能,请说明理由；
（4）当DE经过点C 时,请直接写出t的值．
（1）1, ；
（2）作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴ ．
由△AQF∽△ABC, ,
得 ．∴ ．
∴ ,
即 ．
（3）能．
①当DE∥QB时,如图4．
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC,得 ,
即 ． 解得 ．
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC,得 ,
即 ． 解得 ．
（4） 或 ．
①点P由C向A运动,DE经过点C．
连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6．
, ．
由 ,得 ,解得 ．
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7．
, 】
6（09河南））如图,在 中, , ．点 是 的中点,过点 的直线 从与 重合的位置开始,绕点 作逆时针旋转,交 边于点 ．过点 作 交直线 于点 ,设直线 的旋转角为 ．
（1）①当 度时,四边形 是等腰梯形,此时 的长为 ；
②当 度时,四边形 是直角梯形,此时 的长为 ；
（2）当 时,判断四边形 是否为菱形,并说明理由．
解（1）①30,1；②60,1.5； ……………………4分
（2）当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2 .
∴AO= = . ……………………8分
在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
7（09济南）如图,在梯形 中, 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
（1）求 的长．
（2）当 时,求 的值．
（3）试探究： 为何值时, 为等腰三角形．
（1）如图①,过 、 分别作 于 , 于 ,则四边形 是矩形
∴ 1分
在 中,
2分
在 中,由勾股定理得,
∴ 3分
（2）如图②,过 作 交 于 点,则四边形 是平行四边形
∵
∴
∴
∴ 4分
由题意知,当 、 运动到 秒时,
∵
∴
又
∴
∴ 5分
即
解得, 6分
（3）分三种情况讨论：
①当 时,如图③,即
∴ 7分
②当 时,如图④,过 作 于
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
在 中,
又在 中,
∴
解得 8分
解法二：
∵
∴
∴
即
∴ 8分
③当 时,如图⑤,过 作 于 点.
解法一：（方法同②中解法一）
解得
解法二：
∵
∴
∴
即
∴
综上所述,当 、 或 时, 为等腰三角形9分
8（09江西）如图1,在等腰梯形 中, , 是 的中点,过点 作 交 于点 ． , .
（1）求点 到 的距离；
（2）点 为线段 上的一个动点,过 作 交 于点 ,过 作 交折线 于点 ,连结 ,设 .
①当点 在线段 上时（如图2）, 的形状是否发生改变?若不变,求出 的周长；若改变,请说明理由；
②当点 在线段 上时（如图3）,是否存在点 ,使 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 的值；若不存在,请说明理由.
解（1）如图1,过点 作 于点 1分
∵ 为 的中点,
∴
在 中, ∴ 2分
∴
即点 到 的距离为 3分
（2）①当点 在线段 上运动时, 的形状不发生改变．
∵ ∴
∵ ∴ ,
同理 4分
如图2,过点 作 于 ,∵
∴
∴
∴
则
在 中,
∴ 的周长= 6分
②当点 在线段 上运动时, 的形状发生改变,但 恒为等边三角形．
当 时,如图3,作 于 ,则
类似①,
∴ 7分
∵ 是等边三角形,∴
此时, 8分
当 时,如图4,这时
此时,
当 时,如图5,
则 又
∴
因此点 与 重合, 为直角三角形．
∴
此时,
综上所述,当 或4或 时, 为等腰三角形．10分
9（09兰州）如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值；若不能,请说明理由．
1、（09包头）如图,已知 中, 厘米, 厘米,点 为 的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后, 与 是否全等,请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使 与 全等?
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿 三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在 的哪条边上相遇?
（1）①∵ 秒,
∴ 厘米,
∵ 厘米,点 为 的中点,
∴ 厘米．
又∵ 厘米,
∴ 厘米,
∴ ．
又∵ ,
∴ ,
∴ ．（4分）
②∵ , ∴ ,
又∵ , ,则 ,
∴点 ,点 运动的时间 秒,
∴ 厘米/秒．（7分）
（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇,
由题意,得 ,
解得 秒．
∴点 共运动了 厘米．
∵ ,
∴点 、点 在 边上相遇,
∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇．（12分）
2、（09齐齐哈尔）直线 与坐标轴分别交于 两点,动点 同时从 点出发,同时到达 点,运动停止．点 沿线段 运动,速度为每秒1个单位长度,点 沿路线 → → 运动．
（1）直接写出 两点的坐标；
（2）设点 的运动时间为 秒, 的面积为 ,求出 与 之间的函数关系式；
（3）当 时,求出点 的坐标,并直接写出以点 为顶点的平行四边形的第四个顶点 的坐标．
解（1）A（8,0）B（0,6）1分
（2）
点 由 到 的时间是 （秒）
点 的速度是 （单位/秒）1分
当 在线段 上运动（或0 ）时,
1分
当 在线段 上运动（或 ）时, ,
如图,作 于点 ,由 ,得 ,1分
1分
（自变量取值范围写对给1分,否则不给分．）
（3） 1分
3分
3（09深圳）如图,在平面直角坐标系中,直线l：y=－2x－8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P（0,k）是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
（1）连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由；
（2）当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4,0）,
与y轴交于B（0,－8）,
∴OA=4,OB=8.
由题意,OP=－k,
∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,
∴k=－3,∴OP等于⊙P的半径,
∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形,∴DE= CD= ,PD=3,
∴PE= .
∵∠AOB=∠PEB=90°, ∠ABO=∠PBE,
∴△AOB∽△PEB,
∴ ,
∴
∴ ,
∴ ,
∴ .
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－ －8),
∴k=－ －8,
∴当k= －8或k=－ －8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.
4（09哈尔滨） 如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO是菱形,点A的坐标为（－3,4）,
点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点M,AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM,如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动,设△PMB的面积为S（S≠0）,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下,当 t为何值时,∠MPB与∠BCO互为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
5（09河北）在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ；
（2）在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成
为直角梯形?若能,求t的值．若不能,请说明理由；
（4）当DE经过点C 时,请直接写出t的值．
（1）1, ；
（2）作QF⊥AC于点F,如图3, AQ = CP= t,∴ ．
由△AQF∽△ABC, ,
得 ．∴ ．
∴ ,
即 ．
（3）能．
①当DE∥QB时,如图4．
∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ ∽△ABC,得 ,
即 ． 解得 ．
②如图5,当PQ∥BC时,DE⊥BC,四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ =90°．
由△AQP ∽△ABC,得 ,
即 ． 解得 ．
（4） 或 ．
①点P由C向A运动,DE经过点C．
连接QC,作QG⊥BC于点G,如图6．
, ．
由 ,得 ,解得 ．
②点P由A向C运动,DE经过点C,如图7．
, 】
6（09河南））如图,在 中, , ．点 是 的中点,过点 的直线 从与 重合的位置开始,绕点 作逆时针旋转,交 边于点 ．过点 作 交直线 于点 ,设直线 的旋转角为 ．
（1）①当 度时,四边形 是等腰梯形,此时 的长为 ；
②当 度时,四边形 是直角梯形,此时 的长为 ；
（2）当 时,判断四边形 是否为菱形,并说明理由．
解（1）①30,1；②60,1.5； ……………………4分
（2）当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.
∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分
在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=2 .
∴AO= = . ……………………8分
在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.
∴BD=2.
∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形,
∴四边形EDBC是菱形 ……………………10分
7（09济南）如图,在梯形 中, 动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒．
（1）求 的长．
（2）当 时,求 的值．
（3）试探究： 为何值时, 为等腰三角形．
（1）如图①,过 、 分别作 于 , 于 ,则四边形 是矩形
∴ 1分
在 中,
2分
在 中,由勾股定理得,
∴ 3分
（2）如图②,过 作 交 于 点,则四边形 是平行四边形
∵
∴
∴
∴ 4分
由题意知,当 、 运动到 秒时,
∵
∴
又
∴
∴ 5分
即
解得, 6分
（3）分三种情况讨论：
①当 时,如图③,即
∴ 7分
②当 时,如图④,过 作 于
解法一：
由等腰三角形三线合一性质得
在 中,
又在 中,
∴
解得 8分
解法二：
∵
∴
∴
即
∴ 8分
③当 时,如图⑤,过 作 于 点.
解法一：（方法同②中解法一）
解得
解法二：
∵
∴
∴
即
∴
综上所述,当 、 或 时, 为等腰三角形9分
8（09江西）如图1,在等腰梯形 中, , 是 的中点,过点 作 交 于点 ． , .
（1）求点 到 的距离；
（2）点 为线段 上的一个动点,过 作 交 于点 ,过 作 交折线 于点 ,连结 ,设 .
①当点 在线段 上时（如图2）, 的形状是否发生改变?若不变,求出 的周长；若改变,请说明理由；
②当点 在线段 上时（如图3）,是否存在点 ,使 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 的值；若不存在,请说明理由.
解（1）如图1,过点 作 于点 1分
∵ 为 的中点,
∴
在 中, ∴ 2分
∴
即点 到 的距离为 3分
（2）①当点 在线段 上运动时, 的形状不发生改变．
∵ ∴
∵ ∴ ,
同理 4分
如图2,过点 作 于 ,∵
∴
∴
∴
则
在 中,
∴ 的周长= 6分
②当点 在线段 上运动时, 的形状发生改变,但 恒为等边三角形．
当 时,如图3,作 于 ,则
类似①,
∴ 7分
∵ 是等边三角形,∴
此时, 8分
当 时,如图4,这时
此时,
当 时,如图5,
则 又
∴
因此点 与 重合, 为直角三角形．
∴
此时,
综上所述,当 或4或 时, 为等腰三角形．10分
9（09兰州）如图①,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为（0,10）,（8,4）,
点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当P点到达D点时,两点同时停止运动,
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标 （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时,△OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标；
(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值；若不能,请说明理由．